Метод интегрирования по частям
Пусть функции и
имеют непрерывные производные на некотором промежутке. Найдем дифференциал произведения этих функций:
.
Так как по условию функции и
непрерывны, можно проинтегрировать обе части этого равенства,
,
или
но
,
следовательно
(4)
В правой части формулы (4) постоянную интегрирования С не пишут, т.к она фактически присутствует в интеграле . Формула (4) называется формулой интегрирования по частям.
Сущность метода интегрирования по частям вполне соответствует его названию. Дело в том, что при вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение представляется в виде произведения множителей
и
; при этом
обязательно входят в
. В результате получается, что заданный интеграл находят по частям: сначала находят
, а затем
. Естественно, что этот метод применим лишь в случае, если задача нахождения указанных двух интегралов более проста, чем нахождение заданного интеграла.
При вычислении интегралов методом интегрирования по частям главным является разумное разбиение подынтегрального выражения на множители и
. Общих установок по этому вопросу не имеется. Однако, для некоторых типов интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, сделать это возможно.
1. В интегралах вида: ,
,
,
где Р(х) – многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают , а все
остальные сомножители за .
2. В интегралах вида: ,
,
,
,
полагают , а остальные сомножители за
.
3. В интегралах вида: ,
, где a и b числа, за
можно принять
любую из функций или sin bx (или cos bx).
Пример по выполнению практической работы
Пример 1.Вычислить: 1) ; 2)
Решение:
1) ;
2)
Пример 2.Вычислить 1) ; 2)
3)
4)
;
5) ;
Решение:
1) Положим 1+x = z. Продифференцируем это неравенство: d(1+ x)= dz или dx = dz. Заменим в интеграле: .
2)Сделав замену: , получим
Тогда:
3) Положим
где ;
4) Пусть , тогда
. Поэтому
5) Этот интеграл решается с помощью формул тригонометрии:
.
Поэтому, имеем ;
Пример 3.Вычислить 1) ; 2)
;
Решение:
1) положим ,
; тогда
,
, т.е.
. Используя формулу (4), получим
.
2) ; положим u=lnx, dv=xdx; тогда
;
.
Задания для практического занятия:
Вариант 1
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) ; б)
в)
г) ; д)
; е)
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) е)
; ж)
; з)
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) б)
Вариант 2
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
; е)
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
; з)
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) ; б)
Вариант 3
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) ; б)
; в)
г) ; д)
; е)
;
2. Методом подстановки вычислить:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
; з)
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) ; б)
;
Вариант 4
1. Методом непосредственного интегрирования вычислить:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
; е)
.
2. Методом подстановки вычислить:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ; е)
; ж)
; з)
;
3. Методом интегрирования по частям вычислить:
а) ; б)
.
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется первообразной для функции ?
2. Что называется неопределенным интегралом функции на некотором промежутке?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Перечислите основные табличные интегралы.
5. Какие методы интегрирования вы знаете?
Практическая работа № 23
«Вычисление определенных интегралов»
Цель работы:научиться вычислять определенные интегралы.
Образовательные результаты, заявленные во ФГОС:
Студент должен
уметь:
- применять методы дифференциального и интегрального исчисления.
знать:
- основы дифференциального и интегрального исчисления.
Оборудование: рабочая тетрадь, ручка, методические рекомендации по выполнению практической работы, справочная литература.
Методические указания по выполнению работы:
1. Ознакомиться с теоретическим материалом по практической работе.
2. Рассмотрите образцы решения задач по теме.
3.Выполнить предложенное задание согласно варианту по списку группы.
4.Изучить условие заданий для практической работы и выполнить её.
5. Ответить на контрольные вопросы даются письменно, после решения заданий в тетради для практических работ. Во время выполнения работы обучающийся может пользоваться своим конспектом, а также учебной литературой и справочным материалом.
5. Оформить отчет о работе. Сделайте вывод.