Метод разделения переменных для уравнения колебаний ограниченной струны.

Рассмотрим задачу о колебаниях ограниченной струны длины l с нулевыми граничными условиями первого рода и произвольными начальными условиями в отсутствии внешней силы. Такие колебания струны называются свободными. Решение этой задачи сводится к решению волнового уравнения

(30)

при граничных условиях (31)

и начальных условиях (32)

при этом искомое решение должно быть нетривиальным и ограниченным.

В этом случае можно было бы решать задачу по формуле Даламбера

Однако определение функций и по формулам, которые мы получили из начальных условий

,

встречает здесь те же затруднения, что и в случае полубесконечной струны, поскольку функции f(x) и g(x) определены только для x >0 и решение может быть определено тоже только при x >0.

В связи с этим приходится искать продолжение функций f(x) и g(x) вне промежутка (0, l), используя для этого граничные условия. Этот путь приводит, как мы помним, к построению отраженных волн и формированию решения в виде суперпозиции прямой и обратной волны. Поскольку струна закреплена с обоих концов, то прямая и обратная волны будут пересекаться многократно, что мешает наглядно представить этот процесс.

Ситуация упростилась бы, если бы можно было посмотреть как формируется решение отдельно по координате и по времени. Этот подход можно реализовать с помощью методом разделения переменных, который является одним из наиболее распространенных методов математической физики, в чем мы ещё не раз убедимся. В соответствии с этим методом решение уравнения в частных производных ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. В частности для уравнения (30) решение ищется в виде

(33)

Подставив это выражение в уравнение (30), получим

Разделим обе части на , тогда уравнение примет вид

В этом уравнении левая часть есть функция только переменной t, а правая – только переменной x. Это может иметь место, только если и левая и правая часть является постоянной величиной, которую мы обозначим λ:

(34)

где λ, может быть любым действительным числом и знак минус с этой точки зрения ничего не меняет, но для дальнейшего такое обозначения константы разделения оказывается более удобным. Заметим, что значение λ еще предстоит найти и только в том случае если оно существует наше представление (33) оправданно. В связи с этим существование значения (или значений) числа λ называют условием разделения переменных.

Соотношение (33) позволяет нам записать два уравнения:

(35)

(36)

Чтобы функция (33), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла нулевым граничным условиям (31), приходится потребовать, чтобы выполнялись условия

и (37)

Таким образом, мы приходим к необходимости решить две задачи. Первая из них состоит в том, что требуется найти нетривиальное и ограниченное при всех x решение уравнения (35), удовлетворяющее граничным условиям (37), а также те значения λ, при которых это решение существует. Эта двоякая задача носит название задачи Штурма-Лиувилля. Найденные в результате решения задачи значения λ называются собственными числами, а соответствующие им решения X (x) – собственными функциями.

Уравнение (35), как известно, имеет три вида решения в зависимости от того, какие корни имеет соответствующее характеристическое уравнение

В результате при λ = 0 учет нулевых граничных условий приводит к тривиальному решению, что противоречит условию задачи. При λ < 0 решение имеет вид

Подстановка первого граничного условия приводит к равенству , а подстановка второго граничного условия приводит к равенству , чего не может быть, если . Остается только случай λ > 0, тогда решение будет иметь вид

,

В котором в силу первого граничного условия С₁ = 0, а второе граничное условие приводит к соотношению

,

откуда получаем , где n= 1, 2, 3, . . ., .

В результате получаем бесконечный набор собственных чисел, каждому из которых соответствует собственная функция

, (38)

где – произвольные постоянные. Эта функция представляет собой с точностью до множителя синус кратного аргумента

Теперь можно обратиться к решению уравнения (36). Поскольку мы имеем бесконечный набор значений λ, то вместо уравнения (36) нам предстоит решать бесконечный набор уравнений одного вида

, где (39)

При этих значения λ уравнение (36) будет иметь решение

, (40)

где A_n и B_n – произвольные постоянные, свои для каждого n.

В результате, перебирая значения n. мы получим бесконечный набор решений уравнения (33) следующего вида:

(41)

При записи выражения (41) было учтено, что произведение произвольной константы C_2n на произвольные константы A_n и B_n будет также давать произвольные константы, которые можно снова обозначить через A_n и B_n.

Сумма решений (41) и будет общим решением уравнения (33)

(42)

Каждая из функций u_n (x) представляет собой так называемую стоячую волну. Действительно, как мы уже отмечали, множитель sin(nπx/l) представляет собой периодическую функцию по координате x с полупериодом, равным 1/n от длины струны, а множитель в квадратных скобках представляет собой периодическую по времени функцию

, (43)

где D_n²= A_n²+B_n² и γ_n=arctg (A_n /B_n), с периодом, пропорциональным 1/n. Амплитуда колебания каждой точки с координатой x определяется по формуле

, (44)

а частота по формуле

(45)

Стоячую волну с номером n называют n-ой гармоникой или n-ой модой колебаний.

На рис.18 приведены примеры графического изображения стоячих волн для n=1,2,3. Константы A_n и B_n, а значит и константа D_n, представляющая собой амплитуду колебаний, остается пока неизвестной.

Рис. 18. Стоячие волны: а) n=1; б) n=2; в) n=3.

Теперь перейдем к определению констант A_n и B_n . Для этого воспользуемся начальными условиями (32), подставив полученное решение (42) с учетом (43). В результате получим

(46)

Умножим обе части на , проинтегрируем от нуля до l и воспользуемся соотношением ортогональности

,

после чего получим

Окончательные выражения для коэффициентов A_n и B_n будут иметь вид

(47)

Таким образом, решение задачи о малых поперечных свободных колебаниях ограниченной струны, защемленных на обоих концах, имеет вид суперпозиции бесконечного набора стоячих волн, которые определяются по формуле (41) с учетом формул (47).