Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны

Для решения смешанных задач во многих случаях используется так называемый метод Фурье или метод разделения переменных. В настоящем параграфе применение этого метода мы рассмотрим на примере смешанных задач для уравнения колебаний струны (2.8).

6.1. Случай свободных колебаний. Однородные граничные условия.Требуется найти решение уравнения

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.1)

при граничных условиях

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.2)

и начальных условиях

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.3)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru заданные функции.

Метод Фурье решения задачи состоит в следующем.

I. Сначала находим частные решения уравнения (6.1), удовлетворяющие граничным условиям (6.2). Их будем искать в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.4)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru неизвестные функции одной переменной. С целью определения Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru функцию (6.4) подставим в уравнение (6.1). Получим

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru ,

откуда, разделяя переменные, будем иметь:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.5)

Соотношение (6.5) должно удовлетворяться тождественно при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru произвольно фиксированное положительное число). Зафиксировав произвольно Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в правой части (6.5) и меняя Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в левой части, приходим к выводу, что левая часть соотношения (6.5) необходимо должна равняться постоянной; этой же постоянной должна равняться и правая часть. Обозначая эту постоянную через Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , будем иметь:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

откуда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru :

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.6)

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.7)

Таким образом, уравнение (6.1) распалось на два уравнения (6.6), (6.7), из которых одно содержит функцию только от Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , а другое – функцию только от Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , или, как говорят, в уравнении (6.1) переменные разделились.

Теперь функцию (6.4) подставим в граничные условия (6.2). Получим

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

откуда

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.8)

так как случай Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru интереса не представляет. Таким образом, переменные разделились также и в граничных условиях.

Для определения функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru мы пришли к следующей граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Задача Штурма- Лиувилля.Найти такие значения параметра Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , называемые собственными значениями,при которых существуют нетривиальные (т.е.не равные нулю тождественно) решения уравнения (6.7), удовлетворяющие граничным условиям (6.8), а также найти эти решения, называемые собственными функциями.

Найдем решение этой задачи. Уравнение (6.7) есть уравнение с постоянными коэффициентами; для его решения надо составить характеристическое уравнение

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

корни которого Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Следовательно, вид решения зависит от знака Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

а) Пусть Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Общее решение уравнения (6.7) в этом случае имеет вид:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru произвольные постоянные. Подставляя его в граничные условия (6.8), будем иметь:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Относительно Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru мы получили однородную систему линейных алгебраических уравнений. Так как ее определитель не равен нулю, система имеет только нулевое решение. Поэтому задача Штурма- Лиувилля в этом случае неразрешима.

б) Пусть Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Общее решение уравнения (6.7) имеет вид Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Из условий (6.8) получаем Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru откуда Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Поэтому задача Штурма- Лиувилля также неразрешима.

в) Пусть Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru В этом случае общее решение уравнения (6.7) дается формулой

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.9)

Подстановка (6.9) в граничные условия (6.8) дает

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.10)

Система (6.10) имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Так как определитель системы (6.10) равен Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru то приравнивая его к нулю, для определения значений Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru получаем уравнение

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Решая его, находим корни Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , следовательно, собственные значения задачи Штурма- Лиувилля имеют вид:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.11)

Подставляя значения (6.11) вместо Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в систему (6.10), будем иметь: Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru а Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru произвольное. В дальнейшем будем считать, что Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Внося все это в (6.9), получаем собственные функции задачи (6.7), (6.8):

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.12)

Решаем теперь уравнение (6.6) при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , т.е. уравнение

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Общее его решение имеет вид:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.13)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru произвольные постоянные.

Подставив функции (6.12),(6.13) в (6.4), получим бесконечную последовательность частных решений уравнения (6.1), удовлетворяющих граничным условиям (6.2):

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.14)

II. Теперь построим решение, удовлетворяющее еще и заданным начальным условиям (6.3). С этой целью образуем бесконечный ряд из частных решений (6.14):

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.15)

В дальнейшем будем предполагать, что ряд (6.15) сходится равномерно в области Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и допускает двукратное почленное дифференцирование по переменным Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ruЯсно, что для этого нужно, чтобы функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru удовлетворяли определенным условиям. Достаточно, например, выполнения следующих требований:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru ) Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru дважды непрерывно дифференцируема на Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , третья производная кусочно непрерывно дифференцируема на Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru ) Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru непрерывно дифференцируема на Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru вторая производная кусочно непрерывна на Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Тогда в силу линейности и однородности уравнения (6.1) сумма ряда (6.15) из его решений также будет решением уравнения (6.1). Кроме того, поскольку каждое слагаемое ряда удовлетворяет однородным граничным условиям (6.2), то сумма ряда будет удовлетворять и этим условиям.

Покажем, что постоянные Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в (6.15) можно определить так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (6.3). Продифференцируем ряд (6.15) по Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru :

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.16)

Подставляя (6.15),(6.16) в (6.3), получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.17)

Соотношения (6.17) представляют собой разложения функций Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в ряд Фурье по синусам. Из теории тригонометрических рядов Фурье известно, что всякая функция Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , непрерывная на отрезке Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

где

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Заметим, что функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru удовлетворяют указанным условиям. Поэтому соотношения действительно будут выполняться, если постоянные Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru имеют вид:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.18)

Подставляя (6.18) в (6.15), получаем решение смешанной задачи (6.1)-(6.3).

Таким образом, решение задачи (6.1)- (6.3) дается формулой (6.15), в которой постоянные Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru определены соотношениями (6.18).

Рассмотрим физическую интерпретацию решения (6.15). Если ввести обозначения Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru то это решение можно записать в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.19)

Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну,при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , с амплитудой Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и частотой Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru При таком колебании струна будет издавать звук, высота которого зависит от частоты колебаний Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru . Частота основного (самого низкого) тона выражается формулой Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru . Остальные тона, соответствующие частотам, кратным Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , называются гармониками. Решение (6.19) складывается из отдельных гармоник; амплитуда их, а поэтому и влияние их на интенсивность звука, издаваемого струной, обыкновенно быстро убывает при увеличении номера гармоники и все их действие сводится к созданию тембра звука. Приведенная интерпретация решения подтверждается экспериментально: с помощью резонаторов можно выделять гармоники, соответствующие различным значениям Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru .

6.2. Случай вынужденных колебаний. Однородные граничные условия.Найти решение уравнения

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.20)

удовлетворяющее граничным условиям

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.21)

и начальным условиям

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.22)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru заданные функции.

Эту задачу разобьем на две более простые. Для этого решение представим в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.23)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.24)

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.25)

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.26)

а Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.27)

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.28)

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.29)

Задача (6.24)- (6.26) для функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru рассмотрена нами в пункте 6.1; ее решение дается рядом (6.15). Решение Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru задачи (6.27)- (6.29) будем искать в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.30)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru неизвестные функции.

Пусть ряд (6.30) равномерно сходится в области Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и допускает почленное двукратное дифференцирование по Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Тогда, подставляя (6.30) в (6.27), получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.31)

При произвольно фиксированном Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.31) представляет собой разложение функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в ряд Фурье по синусам. Поэтому для коэффициентов разложения (выражений в квадратных скобках) имеем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.32)

где

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.33)

С учетом (6.30) и Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru из условий (6.29) получим

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.34)

Следовательно, для определения функций Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru имеем задачу (6.32), (6.34), представляющую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (6.32) с начальными условиями (6.34). Ее решение может быть получено с помощью метода вариации произвольных постоянных в следующем виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.35)

Подставляя сюда вместо Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru выражение (6.33), а затем полученный результат в (6.30), получаем решение задачи (6.27)- (6.29). Решение исходной задачи (6.20)- (6.22) найдем по формуле (6.23).

6.3. Случай вынужденных колебаний. Неоднородные граничные условия.Рассмотрим задачу: найти решение уравнения

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.36)

удовлетворяющее граничным условиям

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.37)

и начальным условиям

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.38)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru заданные функции.

Решение этой задачи будем искать в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.39)

От функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru потребуем, чтобы она имела непрерывные вторые производные по Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и удовлетворяла ненулевым граничным условиям

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.40)

Такую функцию всегда можно найти, например,

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Считая теперь функцию Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru известной, выведем задачу для функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Подставляя (6.39) в уравнение (6.36), получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

или

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.41)

где принято обозначение Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Далее, с учетом (6.37), (6.40) и соотношения Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru вытекающего из (6.39), для Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru получаем однородные граничные условия

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.42)

Наконец, учитывая (6.38), будем иметь:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.43)

Таким образом, для определения функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru мы пришли к задаче (6.41)- (6.43) для уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями; эта задача была рассмотрена нами в пункте 6.2.

Пример 6.1.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения свободных колебаний струны:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Решение.Решение этой задачи дается формулой (6.15), в которой коэффициенты Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru определены соотношениями (6.18). В нашем случае

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Внося эти данные в (6.18), получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Вычислим интегралы:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru если Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru если Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Подставив эти значения коэффициентов Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в (6.15), получим решение задачи в следующем виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Покажем, что коэффициенты Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в некоторых случаях, как, например, в этом примере, можно найти и другим способом, не прибегая к формулам (6.18). Для этого функцию Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в виде (6.15) и ее производную Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в виде (6.16) подставим в начальные условия:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

В правых частях этих равенств стоят разложения в ряд Фурье по синусам с известными коэффициентами. Поэтому приравнивая коэффициенты при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , получаем систему

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

откуда Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru остальные Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru равны нулю.

Пример 6.2.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения вынужденных колебаний струны:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Решение. В соответствии с изложенным в разделе 6.2 §6 решение этой задачи ищется в виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.44)

где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

а Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru есть решение задачи

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Сначала решаем задачу относительно функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru решение которой дается формулой (6.15), в которой коэффициенты Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru определены соотношениями (6.18). В нашем случае

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Внося эти данные в (6.18), получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Вычислим интегралы:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru если Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

если Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

при Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Таким образом, все коэффициенты Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru с четными номерами равны нулю. Подставив найденные значения коэффициентов Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в (6.15), получим решение первой задачи относительно Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в следующем виде

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru (6.45)

Перейдем к решению задачи относительно функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Ее ищем в виде (6.30), где Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru и функции Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru определяются формулой (6.35), которая в нашем случае примет вид:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , (6.46)

где для Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru в силу (6.33) с учетом Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Вычислим интеграл: Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Первый интеграл в этой сумме вычисляется по частям:

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Второй интеграл равен Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Следовательно, Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Внося это выражение в (6.46), для Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru интегрированием по частям получаем

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru(6.47)

Теперь, если (6.47) подставить в (6.30), то получим решение второй задачи Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru , которое вместе с (6.45) по формуле (6.44) дает решение исходной задачи.

Задачи

Методом Фурье найти решения следующих смешанных задач для уравнения колебаний струны:

6.1. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru 6.2. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

6.3. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru 6.4. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

6.5. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru 6.6. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны - student2.ru

Наши рекомендации