Приложения производной функции в геометрии и физике

Уравнения касательной и нормали к графику функции

Пусть дана некоторая кривая . Возьмем на кривой фиксированную точку и произвольную точку . Прямая называется секущей. Предельное положение секущей (если оно существует) при называется касательной к кривой L в точке .

Рассмотрим функцию . Пусть в точке проведена касательная к графику функции. Составим уравнение касательной, проведенной в точке .

или .

В результате получаем

. (3.5)

Равенство (3.5) есть уравнение касательной к графику функции в точке .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

.

Поэтому уравнение нормали имеет вид:

. (3.6)

Пример 3.11. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке .

Решение. Для составления уравнения касательной воспользуемся формулой (3.5). Находим:

.

.

Тогда

или .

Для составления уравнения нормали воспользуемся формулой (3.6).

или . ,

Производная функции в физике

Согласно механическому смыслу: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть первая производная от пути по времени , т.е.

.

А вторая производная от пути по времени или первая производная от скорости есть ускорение прямолинейного движения материальной точки, т.е.

.

Если другие физические процессы заданы в виде функции , то − есть скорость протекания этого процесса.

Пример 3.12. Закон движения тела имеет вид: (м). Найти:

1) скорость и ускорение движения тела в момент время с;

2) кинетическую энергию тела через с после начала движения, если его масса кг (ответ записать в кДж).

Решение. 1) Согласно механическому смыслу . Сначала находим скорость тела в общем виде, а потом значение скорости в момент времени с:

;

(м/с).

Далее находим ускорение тела в общем виде и значение ускорения в момент времени с:

;

(м/с²).

2) Кинетическая энергия тела находится по следующей формуле:

.

Находим кинетическую энергию тела в момент времени с:

(Дж) (кДж).

,

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Понятие дифференциала функции,

Его геометрический смысл

Пусть дана функция , определенная на множестве X, и в точке имеет отличную от нуля производную, т.е. . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющиеся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем , так как .

Слагаемое называют главной частью приращения функции .

Определение 4.1. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

. (4.1)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции . Так как , то согласно формуле (2.1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . Поэтому формулу (2.1) можно записать так:

, (4.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (4.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 4.1. Найти дифференциал функции

а) в общем виде;

б) в точке ;

в) при и .

Решение. Находим производную первого порядка:

.

а) Используя формулу (4.2), получаем

.

б) Дифференциал функции в точке равен

.

в) При и получаем:

.

,

Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (2.1.), получаем .

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.

Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть для , тогда

.

Рассмотрим сложную функцию , где , причем и дифференцируемы соответственно в точках x и . Тогда , но следовательно, . А так как , то

.

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя (x – независимая переменная), а ( – функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна: задается произвольно, же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя; нужно вычислить по формуле дифференциала . Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.