ИДЗ – 3 Приложения производной

Индивидуальные домашние задания

ИДЗ – 1 Вычисление производных

1Найти производные данных функций:

1.1а) , б) , в) .

1.2а) , б) , в) .

1.3а) , б) , в) .

1.4а) , б) , в) .

1.5а) , б) , в) .

1.6а) , б) , в) .

1.7а) , б) , в) .

1.8а) , б) , в) .

1.9а) , б) , в) .

1.10а) , б) , в) .

1.11а) , б) , в) .

1.12а) , б) , в) .

1.13а) , б) , в) .

1.14а) , б) , в) .

1.15а) , б) , в) .

1.16а) , б) , в) .

1.17а) , б) , в) .

1.18а) , б) , в) .

1.19а) , б) , в) .

1.20 а) , б) , в) .

1.21а) , б) , в) .

1.22а) , б) , в) .

1.23 а) , б) , в) .

1.24а) , б) , в) .

1.25а) , б) , в) .

1.26а) , б) , в) .

1.27а) , б) , в) .

1.28а) , б) , в) .

1.29а) , б) , в) .

1.30а) , б) , в) .

2 Найти производную неявной функции:

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

2.5 .

2.6 .

2.7 .

2.8 .

2.9 .

2.10 .

2.11 .

2.12 .

2.13 .

2.14 .

2.15 .

2.16 .

2.17 .

2.18 .

2.19 .

2.20 .

2.21 .

2.22 .

2.23 .

2.24 .

2.25 .

2.26 .

2.27 .

2.28 .

2.29 .

2.30 .

3 Найти производную функции с помощью логарифмической производной:

3.1 а) , б) .

3.2 а) , б) .

3.3 а) , б) .

3.4 а) , б) .

3.5 а) , б) .

3.6 а) , б) .

3.7 а) , б) .

3.8а) , б) .

3.9 а) , б) .

3.10 а) , б) .

3.11 а) , б) .

3.12а) , б) .

3.13 а) , б) .

3.14 а) , б) .

3.15 а) , б) .

3.16 а) , б) .

3.17 а) , б) .

3.18 а) , б) .

3.19 а) , б) .

3.20 а) , б) .

3.21 а) , б) .

3.22 а) , б) .

3.23 а) , б) .

3.24 а) , б) .

3.25 а) , б) .

3.26 а) , б) .

3.27 а) , б) .

3.28 а) , б) .

3.29 а) , б) .

3.30 а) , б) .

4 Найти производную , функции заданной параметрическими уравнениями:

4.1 4.2

4.3 4.4

4.5 4.6

4.7 4.8

4.9 4.10

4.11 4.12

4.13 4.14

4.15 4.16

4.17 4.18

4.19 4.20

4.21 4.22

4.23 4.24

4.25 4.26

4.27 4.28

4.29 4.30

5. Найти дифференциал функции :

5.1 . 5.2 .

5.3 .5.4. .

5.5 .5.6 .

5.7 . 5.8. .

5.9 .5.10 .

5.11 .5.12 .

5.13 .5.14 .

5.15 .5.16 .

5.17 .5.18 .

5.19 .5.20 .

5.21 . 5.22 .

5.23 . 5.24 .

5.25 . 5.26 .

5.27 . 5.28 .

5.29 .5.30 .

ИДЗ–2 Производные и дифференциалы высших порядков

1 Вычислить значение второй производной функции в точке .

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5 .

1.6 .

1.7 .

1.8 .

1.9 .

1.10 .

1.11 .

1.12 .

1.13 .

1.14 .

1.15 .

1.16 .

1.17 .

1.18 .

1.19 .

1.20. .

1.21 .

1.22 .

1.23 .

1.24 .

1.25 .

1.26 .

1.27 .

1.28 .

1.29 .

1.30 .

2 Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

2.1 .2.2 .

2.3 .2.4 .

2.5 .2.6 .

2.7 .2.8 .

2.9 .2.10 .

2.11 .2.12 .

2.13 .2.14 .

2.15 .2.16 .

2.17 .2.18 .

2.19 в точке.2.20 в точке .

2.21 .2.22 .

2.23 .2.24 .

2.25 .2.26 в точке .

2.27 .2.28. .

2.29 .2.30 .

3 Написать разложение функции в ряд Маклорена по степеням переменной до членов порядка включительно:

3.1 .3.2 .

3.3 3.4 .

3.5 . 3.6 .

3.7 . 3.8 .

3.9 . 3.10 .

3.11 . 3.12 .

3.13 . 3.14 .

3.15 . 3.16 .

3.17 . 3.18 .

3.19 . 3.20 .

3.21 . 3.22 .

3.23 . 3.24 .

3.25 . 3.26 .

3.27 . 3.28 .

3.29 . 3.30 .

4 Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:

4.1 . 4.2 .

4.3 . 4.4

4.5 .4.6 .

4.7 . 4.8 .

4.9 . 4.10 .

4.11 .4.12 .

4.13 4.14

4.15 4.16 .

4.17 . 4.18 .

4.19 . 4.20 .

4.21 4.22 .

4.23 . 4.24 .

4.25 . 4.26 .

4.27 . 4.28 .

4.29 . 4.30 .

5 Вычислить приближенно значение функции в точке с помощью дифференциала:

5.1 , 7,76.

5.2 , 0.98.

5.3 , 0,08.

5.4 , 2,01.

5.5 , .

5.6 , 1,08.

5.7 , 0,01.

5.8 , 0,48.

5.9 , 1,03.

5.10 , 1,95.

5.11 , 0,51.

5.12 , 1,012.

5.13 , 2,002.

5.14 , 0,52.

5.15 , 8,24.

5.16 , 10,02.

5.17 , .

5.18 , 0,01.

5.19 , 0,98.

5.20 , 3,998.

5.21 , 1,04

5.22 , 1,21.

5.23 , 4,16.

5.24 , 1,02.

5.25 , 2,56.

5.26 , 2,995.

5.27 , 0,09

5.28 , .

5.29 , 7,64.

5.30 , 1,95.

ИДЗ – 3 Приложения производной

1Найти глобальный экстремум функции на отрезке .

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5 .

1.6 .

1.7 .

1.8 .

1.9 .

1.10 .

1.11 .

1.12 .

1.13 .

1.14 .

1.15 .

1.16 .

1.17 .

1.18 .

1.19 .

1.20 .

1.21 .

1.22 .

1.23 .

1.24 .

1.25 .

1.26 .

1.27 .

1.28 .

1.29 .

1.30 .

2 Решить геометрические задачи:

2.1 Найдите прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

2.2 При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

2.3 В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник наибольшей площади.

2.4 В эллипс вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

2.5 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол . При каком значении объём пирамиды является наибольшим?

2.6 В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.

2.7 В данный шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объёма.

2.8 В шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

2.9 Около шара радиуса r описать конус наименьшего объёма.

2.10 Через вершину М квадрата CEMK провести прямую, пересекающую лучи CK и CE в точках A и B так, чтобы площадь DABC была наименьшей.

2.11 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?

2.12 Найти наибольший объём конуса с образующей l.

2.13 В прямой круговой конус с углом в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

2.14 Найти кратчайшее расстояние точки M(p,p) от параболы .

2.15 Найти наибольшую хорду эллипса , , проходящую через вершину .

2.16 Через точку эллипса провести касательную, образующую с осями координат треугольник наименьшей площади.

2.17 Найти основания и высоту равнобочной трапеции, которая при данной площади S имеет наименьший периметр; угол при большем основании трапеции равен .

2.18 Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

2.19 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и углом 30° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

2.20 Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в 294 м² и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей?

2.21 Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?

2.22 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

2.23 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?

2.24 Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной найти треугольник наибольшей площади.

2.25 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 10 см. Найти размер большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

2.26 Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24 и 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.

2.27 Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значении отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим?

2.28 Каким должен быть радиус основания и высота цилиндрического бака, чтобы при данном объеме на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?

2.29 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

2.30 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 15 см. Найти размер меньшего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

3Решить физические задачи:

3.1 Тяжелую балку длиной 13 м, расположенную вертикально, опускают на землю так, что нижний её конец прикреплен к вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот. Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в момент, когда она npoйдёт расстояние 5 м?

3.2 Антенна радара находится на расстоянии 1000 м по горизонтали от стартовой площадки и все время направлена на ракету, которая поднимается с постоянным ускорением 20 м/с². Какова угловая скорость антенны в момент, когда ракета находится не высоте 1000 м?

3.3 Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 м/с. В центре окружности находится фонарь. Забор касается окружности в точке, из которой лошадь начинает бег. С какой скоростью перемешается тень лошади вдоль забора в момент, когда лошадь пробежит 1/8 окружности?

3.4 Резервуар, имеющий форму полушара радиуса , заполняется водой. Скорость заполнения резервуара равна . Определите скорость подъёма воды в резервуаре в момент, когда вода поднялась на высоту .

3.5 Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/с. Чему равно ускорение верхнего конца лестницы в момент, когда нижний конец отодвинулся от стены на 1 м?

3.6Канат висячего моста, имеющего форму цепной линии, т. е. графика функции , прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим друг от друга на расстоянии 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точки подвеса. Чему равен угол между канатом и опорой в точке подвеса (для определения a можно воспользоваться равенством )?

3.7 В точках A и B находятся источники света силы и соответственно, 27. Найдите на отрезке наименее освещенную точку (освещенность прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него).

3.8 Бревно длиной 10 м с помощью подъёмного крана поднимается вертикально вверх за один из его концов. При этом второй конец волочится по земле со скоростью 0,05 м/с. С какой скоростью перемещается верхний конец бревна в момент, когда его нижний конец находится на расстоянии 3 м от вертикали?

3.9 Мальчик надувает воздушный шар, радиус которого возрастает с постоянным ускорением 0,2 см/с². С какой скоростью увеличивается объём шара в момент, когда площадь его поверхности равна см² (радиус шара в начальный момент времени равнялся нулю)?

3.10 Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от точечного источника света, расположенного на высоте 3 м, с постоянным ускорением 0,1 м/с². С каким ускорением перемещается тень его головы?

3.11 Скорость тела, движущегося по окружности радиуса 1 м, меняется по закону . Найдите величину ускорения тела в момент времени c.

3.12 Зависимость пути, пройденного телом, движущимся по окружности радиуса , от времени задается уравнением ( ). Чему равна величина скорости тела в момент, когда оно пройдёт путь ?

3.13 Частица движется с постоянной по величине скоростью по кривой . Найдите величину ускорения частицы в момент, когда .