Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Цель: Формирование навыков выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.
Теоретический материал
Комплексными числами называются числа вида 
, где 
и 
- действительные числа, а число 
, определяемое равенством 
, называется мнимой единицей.
Запись комплексного числа в виде 
называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Представление комплексного числа в виде 
, где 
, называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Произведение комплексных чисел 
и 
находится по формуле:
, (24.1)
то есть
, 
. (24.2)
Таким образом, при умножении двух комплексных числе, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Частное комплексных чисел и находится по формуле:
, (24.3)
то есть
, 
. (24.4)
Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, аргументы вычитаются.
При возведении комплексного числа 
в 
-ую степень используется формула
, (24.5)
которая называется формулой Муавра.
Для извлечения корня -ой степени из комплексного числа используется формула
, (24.6)
где 
- арифметический корень, 
.
Степень 
с комплексным показателем 
определяется равенством
. (24.7)
Можно доказать, что
, (24.8)
то есть 
. (24.9)
В частности, при 
получается соотношение
, (24.10)
которое называется формулой Эйлера.
Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.
Показательная функция имеет период, равный 
, то есть 
. В частности, при 
получается соотношение 
.
Тригонометрическую форму комплексного числа 
можно заменить показательной формой: 
.
Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:
; (24.11)
; (24.12)
; (24.13)
, где . (24.14)
Примеры
Задание 1: Выполните действия:
1) 
;
2) 
.
Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим
2) По формуле деления комплексных чисел заданных в тригонометрической форме получим
Задание 2: Возвести в степень 
.
Решение: По формуле Муавра получим
Задание 3: Найти: 1) 
; 2) 
.
Решение: 1) По формуле Эйлера получим
;
2) По формуле (1) получим 
.
Задание 4: Найти: 1) 
; 2) 
; 3) 
, если 
; 
.
Решение: 1) По формуле умножения комплексных чисел, заданных в показательной форме получим
.
2) По формуле деления комплексных чисел, заданных в показательной форме получим
.
3) По формуле возведения комплексных чисел, заданных в показательной форме, в степень получим
.
Задания для практической работы
1. Найдите произведение (ответ записать в тригонометрической форме):
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
2. Выполните деление в тригонометрической форме:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
3. Найдите:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
.
4. Дано 
; 
.
Найдите: 1) 
; 2) ; 3) 
.
5. Решите уравнения:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение комплексного числа.
2. Какие числа называются комплексно – сопряженными?
3. Какие комплексные числа называются равными?
4. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.
5. Как умножаются и делятся комплексные числа, заданные в тригонометрической форме?
6. Как возводится в степень комплексное число, заданное в тригонометрической форме?
7. По какой формуле извлекается корень 
-ой степени из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме?
8. Как записывается комплексное число в показательной форме?
9. Что называется тождеством Эйлера?
10. Какие действия выполняются над комплексными числами, заданными в показательной форме? Запишите формулы.
Рекомендуемая литература: 1.2[с. 229-239].
Практическая работа №25