Тема 1. комплексные числа. действия над комплексными числами в разных формах записи
Методические указания и контрольные задания
Для студентов-заочников
По дисциплине: Математика
Заочное отделение
ТЕМА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В РАЗНЫХ ФОРМАХ ЗАПИСИ
| Элементы содержания | Требования к знаниям и умениям |
| Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме | знать: правила выполнения действий с комплексными числами в алгебраической форме уметь: выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме |
| Тригонометрическая форма комплексного числа | знать: формулы перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа; правила выполнения действий над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме уметь: находить тригонометрическую форму комплексного числа; выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме |
| Решение уравнений | знать: определение комплексного числа уметь: находить корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом |
| Сопряженные комплексные числа | знать: понятие сопряженных комплексных чисел уметь: записывать число, сопряженное заданному комплексному числу |
| Модуль комплексного числа | знать: понятие модуля комплексного числа уметь: вычислять модуль комплексного числа |
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ:
1. Определение комплексного числа.
Число 
вида 
, где 
- любые действительные числа, а 
- так называемая мнимая единица, называется комплексным числом.
или 
Действительные числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются 
Рассмотрим частные случаи комплексных чисел.
· Пусть y=0, x- любое действительное число. Тогда 
становится действительным числом.
· Пусть 
. Тогда 
- чисто мнимое число.
Таким образом, все действительные числа и все чисто мнимые числа входят в множество комплексных чисел.
Два комплексных числа 
и 
называются сопряженнымикомплексными числами.
Сравнение комплексных чисел осуществляется по правилам:
1. Два комплексных числа 
считаются равными, если 
.
2. Комплексное число 
равно нулю только тогда, когда 
одновременно.
3. Операции <, > не имеют смысла на множестве комплексных чисел.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат ХОУ на плоскости. Каждой точке плоскости при этом соответствуют вполне определенные координаты 
, а следовательно, и вполне определенное комплексное число 
. Обратно, каждому к 
омплексному числу 
соответствует вполне определенная пара действительных чисел 
, а следовательно, и вполне определенная точка плоскости 
. Таким образом установили связь между множеством точек на плоскости и множеством комплексных чисел. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа 
, называется комплексной плоскостью. Ось ОХ называется действительной осью, ось ОУ – мнимой осью. Очевидно, что изображением комплексного числа 
можно считать также и вектор 
.
3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Длина вектора, изображающего комплексное число 
, 
называется модулем комплексного числа.
Угол j, образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси (ÐMON) , называется аргументом комплексного числа.
Обозначение: модуль 
,
аргумент 
.
Из прямоугольного треугольника OMN
.
В качестве главного значения аргумента комплексного числа обычно выбирают значение 
, определенное неравенствами
,
.
Итак, 
называется тригонометрической формойзаписи комплексногочисла.
Пример.Записать в тригонометрической форме комплексные числа:
1. 
2. 
3. 
4. 
.
Решение:
1. 
.
2. 
.
.
3. 
.
4. 
.
4. Действия над комплексными числами.
1. Сложение.
Суммой двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число 
, определяемое равенством
.
Из определения вытекают следующие законы сложения:
- Переместительный : 
- Сочетательный: 
2. Вычитание.
Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Вычесть из числа 
число 
значит найти такое число 
, чтобы имело место равенство: 
Число 
называется разностью чисел 
и 
и обозначается 
.
Вычитаниевсегдавыполнимо.
3. Умножение.
Произведением 
двух комплексных чисел 
и 
называется комплексное число, определяемое равенством 
.
Из определения следуют законы:
· Переместительный 
· Сочетательный 
· Распределительный 
.
4. Деление.
Деление – действие, обратное умножению. Разделить комплексное число 
на комплексное число 
значит найти такое число 
, чтобы имело место равенство 
.
Тогда получаем систему для определения 
и 
:
Система всегда разрешима, т.к. определитель
.
Число называется частным.
.
Итак, чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель дроби умножить на комплексное число, сопряженное числу, стоящему в знаменателе.
5. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Пусть 
.
Тогда 
.
Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули умножаются , а аргументы складываются: 
.
Деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, приводит к формуле:
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ:
Вариант 1
1. Решить квадратное уравнение:
х2 + 2х + 5 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
5х – 2у + (х + у)i = 4 + 5i.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 - i)3;
c. i40 – i21.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 2
1. Решить квадратное уравнение:
х2 + 2х + 4 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
5хi – 2+ 4у = 9i + 2x + 3yi.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 + i)3;
c. i3 – i100.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 3
1. Решить квадратное уравнение:
х2-6х + 18 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
9 + 2хi+4уi= 10i + 5x – 6y.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 - i)4;
c. i13 – i33.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 4
1. Решить квадратное уравнение:
х2-4х + 5 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
2хi+3уi+ 17 = 3x + 2y + 18i.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 - i)4;
c. i17 – i38.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 5
1. Решить квадратное уравнение:
х2 + 6х + 10 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
4х+5у – 9 + 7 (3х-у)i = 10x + 14yi.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (3 - 4i)3;
c. i15 – i37.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 6
1. Решить квадратное уравнение:
х2-10х + 41 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
3 + 4хi+5уi=12i + 5x – 2y.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (2 + 5i)3;
c. i23 – i111.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 7
1. Решить квадратное уравнение:
2х2- 2х + 5 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
х(2 + i) –у (1-i ) = 1 + 3i.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 + 7i)3;
c. i45 – i11.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
b. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 8
1. Решить квадратное уравнение:
25х2- 20х + 13 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
х(1 + i) + y(2 – 3i) = 3i + 1.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 - 5i)3;
c. i58 – i51.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 9
1. Решить квадратное уравнение:
.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
9 + 2ix+4iy = 10i+5x-6y.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (3 - 2i)3;
c. i15 – i57.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости
Вариант 10
1. Решить квадратное уравнение:
х2-6х + 18 = 0.
2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел
2хi+3уi+ 17= 3x + 2y + 18.
3. Выполнить действия:
a. 
b. (1 - 2i)4;
c. i23 – i35.
4. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:
a. 
5. Изобразить решения, полученные в пункте 4, на комплексной плоскости.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
1.Решите во множестве комплексных чисел уравнение 
.
Решение:
Так как 
, тогда корни находятся по формуле 
( 
).
Отсюда, 
, 
.
Ответ: 
.
.
Решите уравнение 
Решение:
По формуле 
, находим:
.
2.При каких действительных значениях x и y комплексные числа 
и 
будут равными?
Решение:
Комплексные числа 
и 
будут равными, если выполняются условия:
Ответ: 
; 
.
3.Вычислите 
; 
; 
; 
.
Решение:
С помощью формулы: 
легко получаем:
;
;
;
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
4.Выполнить все действия над комплексными числами 
и 
.
Решение
5.Выполните указанные действия: 
.
Решение
Вычислим значение дроби 
.
Следовательно, 
Ответ: 
.
6.Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Решение
Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости.
Покажем их.
7.Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
а) 
; б) ; в) 
; г) ; д) 
; е) 
; ж) 
.
Решение
Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид 
, тогда:
а) В комплексном числе 
: 
.
Тогда 
,
Поэтому 
б) 
, где 
, 
в) 
, где 
, 
г) 
, где , 
д) 
, где 
, 
е) 
.
ж) 
, а 
, то 
.
Поэтому 
Ответ: 
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.