Знакопостоянные ряды. Общее условие сходимости рядов с положительными членами.

Ряд (1) называется знакопостоянным, если все его члены , либо если все его члены . Т.к. умножение ряда на (-1) не влияет на сходимость ряда, то в дальнейшем можно считать, что ряд (1) с положительными членами . Теорема 1: Общее условие сходимости рядов с положительными членами: для того, чтобы ряд (1) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху неким числом A. Док-во: Пусть ряд (1) сходящийся, S – сумма. (3) выполняется, если в качестве A взять S. Пусть (3) выполнено, т.к. члены ряда (1) – положительные, то его частичную сумму образует последовательность . Существует , значит все пределы сходящиеся.

6. Признаки сравнения (в непредельной и предельной формах).

В непредельной форме: Рассмотрим два ряда с положительными членами: (1) (2). Теорема 2: Предположим, что при всех натуральных n выполняется неравенство (3), тогда: 1) если (2) сходится, то и (1) сходится, 2)если (1) расходится, то (2) расходится. Док-во: Пусть (2) сходится, по Т1 (Общее условие сходимости рядов с положительными членами) тогда его частичные суммы ограничены сверху некоторым числом A, т.е. (4). Обозначим через частичную сумму ряда (1) В силу (3) (5), по Т1 – ряд сходящийся. В предельной форме: (6). Если , тогда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. . Выберем два числа . Существует номер N такой, что для всех номеров будет выполняться неравенство: (7). Умножим , тогда: (8) (9). Итак, пусть ряд (2) сходится, тогда сходится его N-ный остаток, значит сходится и ряд вида . В силу неравенства (9) следует, что по Т2, что будет сходиться и N-ный остаток ряда (1), а значит сходится и сам ряд (1). Пусть (2) расходится => N-ный остаток значит тоже расходится и ряд вида: => будет расходиться N-ый остаток ряда (1), а значит и сам ряд (1) расходится. Замечание: признак сходимости в предельной форме обычно применяют в случае, когда N член ряда (1) имеет . В качестве ряда сравнения (2) берется такой ряд:

7. Признак Даламбера (в непредельной и предельной формах)

: Рассмотрим два ряда с положительными членами: (1) (2). Лемма: Если при всех выполняется (3). Тогда: 1) если (2) расходится, то (1) тоже , 2) если (1) расходится, то (2) тоже. Доказательство: запишем (3) для различных n , начиная с n=1. , , , , , . Если (2) сходится, тогда и сходится =>(1) сходится. Признак Даламбера в предельной форме: 1)Если при всех выполняются неравенства (5), то ряд (1) сходится. Теорема: Если при всех выполняются неравенства (6), то ряд (1) расходится. Доказательство 1: Рассмотрим геометрическую прогрессию вида: (7) . , (8). Т.к. ряд (7) сходящийся и выполнено (8), то по Лемме, ряд (1) – сходящийся. Док-во 2: (9) , – расходящийся. , , (10). На основании Леммы – ряд расходящийся. Теорема: пусть существует предел . 1)Если -сходящийся, 2)Если -расходящийся, 3)Если теорема ничего не утверждает. Док-во: 1) . Выберем q так, чтобы q: . Существует N, . (11). На основании Т1 оттуда следует, что n-ый остаток ряда (1) сходится. 2) q: Существует номер N, такой, что для всех номеров, начиная с него по Т1. N-ый остаток ряда (1) расходится.

8. Интегральный признак Коши. Сходимость обобщенно гармонических рядов.

Рассмотрим ряд с положительными членами: (1). Предположим дополнительно, что члены ряда (1) убывают с ростом номера. , (2). Определение: функцией Коши, соответствующей ряду (1) называется числовая функция вещественной переменной x f(x), которая определена для и обладает следующими свойствами: 1) f(x) – непрерывна 2)f(x) –убывает 3) . Теорема: Пусть функция f(x) – функция Коши ряда (1), тогда сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости несобственного интеграла. Сх-ть (1) (3). . – площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) с основанием от 1 до n. (4). , . , (5) , (6) , (7). Пусть (1) сходится, значит существует . Существует –число =>сходящийся. Пусть (1) –расходящийся, значит , -расходящийся. Гармонический ряд: , – гармонический ряд. Ряд расходящийся, если , сходящийся, если .

9. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

Это ряд вида (1) . Теорема: признак сходимости: пусть выполнены два условия: 1)Члены ряда (1) убывают по абсолютной величине с ростом номера. 2) . Тогда ряд (1) сходится. Док-во: обозначим – n-ая частичная сумма ряда (1). – частичная сумма с учетом номера. , , . 1) 2)Покажем, что эти частичные суммы уменьшаются с ростом номера: , , . Существует предел: , , => Если – ряд расходящийся. Если => (1) – расходящийся.

10. Сходимость ряда при условии сходимости ряда абсолютных величин его членов. Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды. Основные свойства абсолютно сходящихся рядов.

(1) не делая никаких предположений относительно знаков его членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом. Рассмотрим (2) – с положительными членами. . Лемма: пусть n-вещественное число, тогда: 1) Если взять абсолютную величину числа, добавить или вычесть его, разделить на 2, будет . (3) . 2) (4) . Теорема: Если (2) сходится, то (1) тоже сходится. Рассмотрим 2 вспомогательных ряда: (5) (6). На основании леммы , значит, ряды (5) и (6) с неотрицательными членами. На основании той же леммы . То есть, члены рядов (5) и (6) не превосходят членов ряда (2). Т.к. ряд (2) – сходящийся, то по признаку сравнения рядов с положительными членам, ряды (5) и (6) тоже сходящиеся. Сходящиеся ряды можно почленно вычитать, при этом получится снова сходящийся ряд (5)-(6). Ряд (1) – сходящийся. Утверждение, обратное теореме неверно, из сходимости ряда (1) не следует сходимость ряда (2). При исследовании сходимости рядов (1) и (2) возможны следующие случаи: 1) Ряд (2) сходящийся, тогда по Теореме ряд (1) тоже сходится. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся. 2)Ряд (2) – расходящийся, а ряд (1) – сходящийся. Ряд (1) называется не абсолютно (условно) сходящимся. 3) Ряд (1) –расх. ((2)-расх.). Свойства абсолютно сходящихся рядов: 1)пусть ряд (1) – абсолютно сходящийся и имеет сумму S, тогда в таком ряде можно произвольным образом менять порядок следования слагаемых, при этом полученный ряд снова будет абсолютно сходящийся и имеет сумму S. 2) Пусть ряд (1) абсолютно сходящийся и имеет сумму S. И имеется еще один абсолютно сходящийся ряд и имеет сумму T. Тогда при почленном перемножении рядов (1) и (7) получится абсолютно сходящийся ряд с суммой =S*T. . Теорема Римана: пусть ряд (1) – условно сходящийся, тогда: 1)за счет перестановки членов ряда (1) можно получить либо ряд расходящийся, либо ряд сходящийся, но сумма которого не равна сумме исходного ряда. 2) Существует два условно сходящихся ряда (1) и (7), для которого их почленное произведение окажется либо расходящимся рядом, либо сходящимся, но суммой, не равной S*T. Если в ряде (1) все , то , то есть ряд (2) = (1) и для таких рядов понятие сходимости совпадает с понятием абсолютной сходимости.