Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов

В этом разделе будут изложены теоремы, необходимые для вывода правил вычисления пределов. Сначала приведём некоторые определения.

Определение 3.1.Величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется бесконечно малой (при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru .

Определение 3.2.Величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется бесконечно большой (при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru .

Определение 3.3.Величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется ограниченной на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru такая константа Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru для всех Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 3.4.Величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется ограниченной сверху (снизу) на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru такая константа Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ( Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru для всех Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 3.5.Величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если существует интервал Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ,

-12-

содержащий точку Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , на котором величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является таковой.

Очевидно, что функции Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru являются ограниченными на всей числовой оси, так как Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru . Функции Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ограниченны на любом интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru таком, что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Очевидно, что величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является ограниченной тогда и только тогда, когда она ограниченна и сверху, и снизу.

Очевидно, что бесконечно малая величина является ограниченной.

Примеры бесконечно малых, бесконечно больших и ограниченных величин будут приведены ниже.

Теорема 3.1.Сумма, разность, произведение бесконечно малых величин являются бесконечно малыми.

Теорема 3.2.Произведение бесконечно малой величины на ограниченную является бесконечно малой.

Теорема 3.3.Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - бесконечно малая, то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - бесконечно большая.

Теорема 3.4.Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - бесконечно большая, то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - бесконечно малая.

Теорема 3.5.Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru – ограниченная величина.

Теорема 3.6. Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru тогда и только тогда, когда Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru представима в виде Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , где . Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , т.е. Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - бесконечно малая.

Пример 3.1.При Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является бесконечно малой, а величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru бесконечно большая.

Пример 3.2.Поскольку величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является ограниченной на всей числовой оси, то при Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является бесконечно малой.

Пример 3.3.При Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru величина Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является бесконечно большой, а величины Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru бесконечно малыми.

Из приведённых выше теорем вытекает следующая теорема о правилах

-13-

вычисления пределов.

Теорема 3.7.Пусть Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , тогда:

Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru если b Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru .

Замечание 3.1.Поскольку Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru где Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru - константа, то из пункта 2) теоремы 3.7 вытекает, что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Приведём ещё несколько теорем о пределах для полноты изложения.

Теорема 3.7 ( о сжатой переменной).Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Теорема 3.8.Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ( Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ) и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Теорема 3.9.Если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru то Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 3.6.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется монотонно возрастающей на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если из того, что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru следует, что Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Теорема 3.10.Если функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru является монотонно возрастающей и ограниченной сверху, т.е. Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru (снизу, т.е. Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ) на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то существует конечный предел Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru ( Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Замечание 3.2.В теореме 3.10 границы интервала Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru могут быть равными также Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru соответственно.

Непрерывные функции.

Определение 4.1.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется непрерывной в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 4.2.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется непрерывной слева (справа) в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 4.3.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется непрерывной на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если она непрерывна в каждой точке этого интервала. -14-

Определение 4.4.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru называется непрерывной на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , если она непрерывна на интервале Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , непрерывна справа в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и непрерывна слева в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Определение 4.5.Если функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru не является непрерывной в точк Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то она называется разрывной в этой точке.

Пример 4.1.Функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывна всюду, кроме точки Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru она является непрерывной слева.

Теорема 4.1.Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Теорема 4.2.Пусть Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru и Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывны. Тогда Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывны; Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывна, если Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Теорема 4.3.Если функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывна в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , а функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывна в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , причём Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru , то функция Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru непрерывна в точке Основные теоремы о пределах. Правила вычисления пределов - student2.ru

Т.е. сложная функция непрерывных функций является непрерывной функцией.

Геометрически непрерывность функции означает, что её график является сплошной, неразрывной линией.

Наши рекомендации