Основные правила вычисления пределов
Теорема 1. , где С = const.
Теорема 2.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4. при
Теорема 5. Еслиf(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.
Теорема 6. Еслиg(x) £f(x) £u(x) вблизи точки х = а и , то и .
Замечательные пределы.
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.
Кроме, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел: .
Решение: если напрямую подставить вместо х предельное значение 1, тогда вверху и внизу получатся 0 – это называется неопределенностью (записывается как ) и эту неопределенность необходимо раскрыть чтобы решить предел (вычислить, т.е. получить ответ в виде числа). Для раскрытия неопределенностей такого вида сделаем следующее:
1) Разложим числитель и знаменатель,данной дроби на множители. В знаменателе по правилам нахождения корней квадратного уравнения, т.е.ах2 + bх + с = 0- квадратное уравнение в общем виде, где а,b, с – коэффициенты уравнения (произвольные числа)
т.е. для = 0, получим корни х1 = 1, х2 = 2. А в числителе по правилам нахождения корней кубического уравнения: = 0
2) Запишем предел следующим образом =
3) сокращаем одинаковые скобки, получаем
следовательно, неопределенность раскрыта и
4) можно подставить предельное значение на место х, т.е. .
Пример. Найти предел: .
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби по правилам нахождения корней квадратного уравнения, т.е.
ах2 + bх + с = 0- квадратное уравнение в общем виде, где а,b, с – коэффициенты уравнения (произвольные числа)
Т.е. = 0 и находим корни х1 = 2, х2 = 4, следовательно, разложением на множители получим: . Аналогично для знаменателя: = 0 получим: .
Тогда .
Пример. Найти предел: .
Решение:
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример. Найти предел:
Решение: Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность¥ в функцию на место неизвестных, т.е. вместо всех х.Получим неопределенность вида . Для раскрытия неопределенностей такого типа необходимо в числителе и знаменателе разделить многочлены на х старшей степени, т.е.
Сначала мы смотрим на числитель и находимхв старшей степени: Старшая степень в числителе равна 2.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим х в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна 2.Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий:для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель нах2:
Для пределов такого вида запишем общее правило:
Общий вид предела
где Р(х) = а0хn + a1xn-1+ …+ an–многочлен стоящий в числителе, а Q(х) = b0хm + b1xm-1+ …+ bm – многочлен, расположенный в знаменателе.
Тогда решение такого предела: