Справочный материал к заданию. Основные правила вычисления пределов:

Основные правила вычисления пределов:

1. .

2. .

3. , если .

4. и

где С = const.

5. .

6. .

Если х < х₀ и х → х₀, то употребляют запись х → х₀ – 0; если х > х₀
и х → х₀ — запись х → х₀ + 0. Числа f(x₀ – 0) и f(х₀ + 0) называются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке х₀.

Функция f(x) называется бесконечно малой при х → х₀,
если .

Бесконечно малые функции f(x) и g(x) называются эквивалентными, если (обозначается f(x) ~ g(x)).

При х → 0 эквивалентными являются следующие функции:

sin x ~ x,	tg x ~ x,	ex – 1 ~ х,	(1 + х)a – 1 ~ a · x,
arcsin x ~ x,	arctg x ~ x,	ln(1 + x) ~ x, ax – 1 ~ х · ln a,	1 – сos x ~ .

Приведенный ряд остается справедливым, если вместо аргумента x подставить функцию при .

Рекомендации к выполнению задания

1. При вычислении пределов придерживаться следующего плана:

1) Выполнить непосредственную подстановку значения аргумента в выражение функции. Результатом этой подстановки может стать один из вариантов:

а) получен искомый предел;

б) предела функции не существует;

в) получена неопределенность.

При получении предела в пункте а) следует учесть, что

(+¥) + (+¥) = +¥	(+¥) · (+¥) = +¥	(+¥) · (–¥) = –¥
(–¥) + (–¥) = –¥	(–¥) · (–¥) = +¥
С + (¥) = ¥	С · ¥ = ¥	(с учетом знака)
С – (¥) = –¥

В пункте в) неопределенность может иметь вид: ; ;
(¥ – ¥); (0 · ¥); (1^¥); (¥⁰); (0⁰).

2) В случае получения неопределенности следует провести тождественные преобразования функции, приводящие к избавлению от неопределенности. При этом используют методы:

а) выделение критических множителей;

б) применение специальных пределов;

в) использование эквивалентных бесконечно малых.

Следует отметить, что неопределенность вида (0 · ¥) с помощью тождественных преобразований приводится к виду или
, а неопределенность (¥ – ¥) приводится к виду (0 · ¥) вынесением общего множителя ¥–¥ = ¥ · ¥ или «раскрывается» приведением к общему знаменателю и использованию сопряженных выражений. Неопределенности (0⁰), (¥⁰), (1^¥) решают с помощью формулы (здесь принимает вид 0 · ¥).

3) При решении пределов следует знать значения:

пределы функций sin x, cos x, tg x и ctg х при х ® ± ¥ не существуют; так же

если а > 1

и

если 0 < a <1;

использовать 1-й и 2-й замечательные пределы и а также равенства .

Пример решения задачи

Найти пределы:

1) 2) .

1) Так как при подстановке х = ¥ в выражении функции получаем неопределенность , то, используя метод выделения критического множителя (им является «старшая» степень аргумента), получим:

(применяем правила 1) и 3).

2) При подставке х = 1 получим неопределенность . Решаем выделением критического множителя. Для того разложим на множители числитель и знаменатель. (В данном случае использование тождества а² – b² = (a – b)(a + b) и корней квадратного трехчлена.)

Условия задачи 3.

а) ; б) ;

а) ; б) ;

а) ; б) ;

а) ; б) ;

а) ; б) ;

а) ; б) ;

а) ; б) ;

a) б)

а) ; б) ;

а) ; б) .

Задача 4. Найти производную функции.