Правила вычисления пределов.
Если 
и 
, то
;
;
, при 
;
, 
.
Первый замечательный предел.
.
Следствия: 
, 
, 
, 
Второй замечательный предел.
.
Основные неопределенности.
, 
, 
, 
, 
.
Основные эквивалентные бесконечно малые величины.
, 
, 
, 
, 
при 
.
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Правила дифференцирования.
Если 
, 
– дифференцируемые функции,
то
1. 
2. 
3. 
Формулы дифференцирования:
, 
, 
, 
Следствие: 
,
Формула Лапиталя.
Дифференциал функции.
Применение дифференциального исчисления в исследовании функции 
1) Если дифференцируемая функция возрастает (убывает) на отрезке 
, то 
.
2) Если дважды дифференцируемая функция выпукла (вогнута) на отрезке , то 
.
Замечание: 1. Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, полагая, что все переменные, кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.
2. Градиент функции 
определяется по формуле: 
ГЛАВА X. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Неопределенный интеграл.
Таблица интегралов.
Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:
, 
, 
, 
Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:
, т.е. дробь правильная
Определенный интеграл.
§ 
10.3. Двойной интеграл.
ГЛАВА XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Уравнение, содержащее кроме неизвестной функции и её производные называется дифференциальным.
Например: 
– дифференциальное уравнение 1го порядка.
– начальное условие.
Функция 
является частным решением дифференциального уравнения 1го порядка, если выполняется:
Простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка являются уравнения с разделяющимися переменными:
, где
и
Эти уравнения решаются путем деления на 
и последующего интегрирования уравнения.
– дифференциальное уравнение 2го порядка,
; 
– начальные условия.
Частным случаем дифференциальных уравнений второго порядка являются линейные
неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
Решение 
уравнений ищется в виде:
, где 
– общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному,
– частное решение исходного уравнения.
строится в зависимости от корней характеристического уравнения:
Если 
, то 
При 
, 
При 
, 
ГЛАВА XII. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
Числовые ряды.
Выражение вида:
, где 
называется числовым рядом. Если 
, то ряд называется знакопостоянными.
Сумма первых 
членов ряда называется частичной суммой: 
.
Ряд называется сходящимся, если существует 
, в противном случае – расходящимся. Ряды чаще всего исследуются на сходимость с помощью признаков сходимости.
Для знакопостоянных рядов наиболее применимы следующие:
1. необходимый признак сходимости ряда:
если 
, то ряд расходится, при 
– ответ дать нельзя;
2. признак Даламбера:
3. признаки сравнения;
4. признак Коши: Если 
сходится, то и ряд сходится; если интеграл расходится, то и ряд расходится. Функция 
строится по формуле 
– общего члена ряда:
, 
, … , 
, …
Замечание: 1. Ряд вида 
называется гармоническим. При 
ряд сходится, при 
– расходится.
2. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии 
сходится при 
, и расходится, если 
.
Функциональные ряды.
Ряд Тейлора для функции :
