Линейная зависимость и независимость векторов

Опр.2. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если .

Говорят также, что вектор b линейно выражается через векторы .

Опр.3. Система векторов пространства называется линейно зависимой, если существуют неравные нулю одновременно элементы поля Р такие, что .

Опр.4. Система векторов называется линейно независимой, если равенство выполняется только при .

Свойства линейной зависимости векторов:

1) Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Доказательство: Пусть первый вектор системы - нулевой, т.е. имеем систему , тогда . То есть нашлись не равные нулю одновременно элементы поля Р - , такие что линейная комбинация системы векторов равна . Значит система векторов линейно зависима. ▲.

2) Система векторов линейно зависима, если какая-то её подсистема (часть) линейно зависима.

Доказательство: Пусть дана система векторов , причем её подсистема - линейно зависима. Значит, существуют не равные нулю одновременно , такие, что система линейно зависима. ▲.

Следствие: любая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.

3) Система векторов линейно зависима хотя бы одни вектор этой системы линейно выражается через остальные векторы системы.

Доказательство: 1. . Пусть - линейно зависимая система , не равные нулю одновременно, такие, что . Пусть для определенности Тогда, умножив равенство на , получим:

, т.е. линейно выражается через .

2. . Пусть, например, линейно выражается через такие, что . Т.е. нашлись такие не равные нулю одновременно элементы поля Р: , что . Значит система векторов линейно зависима. ▲.

4) Если система векторов линейно независима, а система - линейно зависима, то вектор b единственным образом линейно выражается через .

Доказательство: 1. Существование разложения. Так как система линейно зависима, то , не равные нулю одновременно, такие, что . Обязательно , т.к. в противном случае была бы линейно зависима. Значит , то есть b линейно выражается через .

2. Единственность. Пусть вектор b может быть линейно выражен через вектора двумя способами. Т.е. и . Вычтем из первого равенства второе, получим:

Так как система векторов линейно независима, то такое равенство выполняется только при . То есть разложение вектора b по векторам единственное. ▲.

5) Пусть даны две системы векторов пространства : причем и каждый вектор системы линейно выражается через векторы системы ,

тогда система - линейно зависима.

Доказательство: По условию,

Система линейно зависима

Рассмотрим систему уравнений:

В этой однородной системе , т.е. число неизвестных больше, чем число уравнений системы, значит система имеет ненулевое решение.

А значит и система имеет ненулевое решение имеет место равенство система линейно зависима. ▲.

Примеры векторных пространств:

1. - арифметическое векторное пространство над .

2. - множество всех матриц размера с элементами поля Р - векторное пространство над полем Р.

3. Многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р - векторное пространство над Р - .

4. - многочлены от одной переменной с коэффициентами из поля Р степени не выше п.

5. - множество всех отображений множества в - векторное пространство над полем относительно операций сложения отображений и умножения отображений на действительные числа.

6. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел .

ВОПРОС № 5 Конечномерные векторные пространства. Базис и размерность. Координаты вектора.

Опр.1. Пусть - векторное пространство над полем Р. Совокупность векторов пространства называется базисом пространства , если:

1) - линейно независимая система векторов;

2) любой вектор пространства линейно выражается через векторы , т.е. .

Теорема 1. Если пространство над полем Р имеет базис, то любые 2 базиса пространства содержат одинаковое число векторов.

Доказательство: Пусть и - 2 базиса пространства . Допустим, что , тогда имеем: каждый вектор системы (1) линейно выражается через векторы системы (2), т.к. (2) - базис. А тогда, по свойствам линейной зависимости, имеем, что (1) - линейно зависима, что противоречит тому, что (1) - базис . Значит .

Аналогичное противоречие получим, если допустим, что , значит .

Итак, ▲.

Теорема 2. Если пространство имеет базис, состоящий из п векторов, то любая линейно независимая система, содержащая п векторов, также образует базис пространства .

Доказательство: Пусть - базис пространства , а - произвольная линейно независимая система векторов. Покажем, что система (2) - базис . Для этого надо показать, что (2) удовлетворяет второму условию определения базиса, т.е. что любой вектор пространства линейно выражается через векторы системы (2).

Пусть , добавим его к системе (2), получим систему . Так как (1) - базис , то любой вектор пространства , а значит любой вектор системы (3) линейно выражается через вектора системы (1), а тогда х линейно выражается через векторы системы (2). ▲.

Опр.2. Если пространство имеет базис, то называется конечномерным, а число векторов в любом базисе называется размерностью пространства и обозначается . В противном случае называется бесконечномерным. Если - конечномерное и , то называют также п-мерным векторным пространством.

В п-мерном векторном пространстве любая система векторов, содержащая более чем п векторов, линейно зависима. А в бесконечномерном векторном пространстве можно найти систему из любого числа линейно независимых векторов.

Примеры:

1. - п-мерное пространство. Базис - .

2. - пространство матриц размера над полем Р - конечномерное пространство, размерность , базисом, например, будут векторы , ,…, , ,…, где е - единичный элемент поля Р.

3. - пространство многочленов от одной переменной х над полем Р, бесконечномерно, т.к. можно найти линейно независимую систему векторов, состоящую из п векторов - .

4. - пространство многочленов от одной переменной х над полем Р степени не выше п; конечномерно, размерности . Базис, например, .

5. Множество всех комплексных чисел есть векторное пространство над полем действительных чисел размерности 2; базис, например, .

6. Любое поле Р есть векторное пространство над самим собой размерности 1; базис, например, единица е поля Р.

Координаты вектора

Опр.3. Пусть - п-мерное векторное пространство над полем Р; - базис Тогда . Коэффициенты этого разложения называют координатами вектора х в базисе .

Легко показать, что справедливо следующее предложение:

Предложение: Координаты любого вектора в данном базисе конечномерного векторного пространства определяются однозначно.

Доказательство: Допустим, что некоторый вектор х пространства имеет 2 разложения по базисным векторам :

. Т.е. разложение единственно. ▲.