Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполирование и приближение функций
В этом разделе будут рассмотрены способы вычисления приближенных значений функций и ее производных в случае, когда известны значения функции в некоторых фиксированных точках
Постановка задачи приближения функций
1. Простейшая задача, приводящая к приближению функций, заключается в следующем. В дискретные моменты времени определяются значения функции ; требуется восстановить ее значения при других значениях .
Иногда, из каких либо соображений известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде
.
Если параметры определяются из условия совпадения и приближающей функции в точках , так называемых узлах интерполяции,
, ,
то такой способ приближения называют интерполированием.
2. Если точка , в которой вычисляется значение , лежит вне отрезка , то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция.
Узлы должны располагаться недалеко друг от друга, поскольку многие детали поведения аппроксимируемой функции могут быть утеряны. Если узлы расположены очень близко друг к другу, то увеличивается роль погрешностей в используемой информации. Таким образом, вопрос о выборе узлов интерполяции и экстраполяции непрост, особенно в задачах, где значения исследуемой функции зависят от многих случайных факторов.
В качестве приближающих функций можно выбрать различные их классы: полиномы, многочлены, тригонометрические, дробно-рациональные и т.д. Вид приближающей функции существенно зависит от цели, с которой осуществляется приближение.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного интерполирования, когда приближение ищется в виде
,
где известные фиксированные функции, значения неизвестных коэффициентов определяются из условия совпадения с приближаемой функцией в узлах интерполирования :
, . (2.1)
Метод решения задачи, при котором коэффициенты определяются непосредственным решением системы (2.1), называется методом неопределенных коэффициентов.
Наиболее изучен случай интерполирования полиномами
. (2.2)
Тогда , , и система уравнений имеет вид
, . (2.3)
Непосредственное нахождение коэффициентов с помощью решения этой системы уже при сравнительно небольших , например при , приводит к катастрофическому искажению коэффициентов вычислительной погрешностью.
Для дальнейшего нам потребуется символ Кронекера:
Задача интерполирования будет решена, если удастся построить многочлены степени не выше такие, что при . Многочлен
будет искомым интерполяционным многочленом. В самом деле,
;
кроме того, многочлен степени . Из условия , получаем
.
Интерполяционный многочлен, записанный в форме
, (2.4)
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.