Интерполяционный многочлен Лагранжа 1 страница

Предисловие

Данные методические рекомендации предназначены для подготовки магистров по направлению 110800 Агроинженерия.

В современной науке и технике математические методы исследования и проектирования играют все большую роль. Общий курс математики является фундаментом инженерного образования. Внедрение вычислительной техники существенно расширяет возможности применения математики при решении конкретных задач. Темпы развития науки и техники делают невозможной подготовку специалистов, имеющих готовые рецепты для решения всех задач, с которыми им придется сталкиваться. В соответствии с ФГОС ВПО, область профессиональной деятельности магистров включает в себя эффективное использование и сервисное обслуживание сельскохозяйственной техники, машин и оборудования, средств электрификации и автоматизации технологических процессов при производстве, хранении и переработке продукции растениеводства и животноводства; разработку технических средств для технологической модернизации сельскохозяйственного производства.

Поэтому математическое образование инженера должно быть широким, общим, то есть мало специализированным, достаточно фундаментальным, иметь четко выраженнуюприкладную направленность, быть в известной мере индивидуализированным.

Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемыхобъектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.

Предметом изучения прикладной математики являются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Главная особенность ее, как указывалось выше, состоит в том, что она является важнейшей составляющей фундаментальной подготовки инженера. При этом математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

К каждому практическому занятию приведены основные теоретические сведения, решение типовых примеров и задач, задачи для самостоятельного решения с ответами. По каждому разделу предусмотрены зачетные работы в форме контрольной работы.

Практические занятия

Практическое занятие № 1

Тема: Понятие ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье.

Основные вопросы: Периодические функции. Периодические процессы. Постановка задачи и определение ряда Фурье. Коэффициенты Фурье. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле.

Краткие теоретические сведения: При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Определение 1: Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

(1)

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

В отличии от степенного ряда в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1, х, х²,…, хⁿ,… взяты тригонометрические функции

(2)

которые тоже хорошо изучены.

Система функций (2) называется основной тригонометрической системой. Любая частичная сумма ряда (1) 2π – периодична. Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на отрезке [-π; π], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности частичных сумм, является периодической функцией с периодом Т=2π. По этой причине тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодически функций, описывающих различные периодические процессы. Например процессы колебательных и вращательных движений различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.

Функция (2) обладает еще свойством ортогональности на отрезке [-π; π]:

Далее:

, при k≠n.

Если k=n, то

Аналогично находим

Наконец

Так как

при k≠n.

Если k=n, то .

Для тригонометрического ряда, как и для степенного ряда, можно установить условия разложения функций.

Теорема 1.Пусть 2π периодическая функция f(x) интегрируема на отрезке [-π; π]. Тогда, если на отрезке [-π; π] функция f(x) раскладывается в тригонометрический ряд

, (3)

который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам:

, , . (4)

Определение 2. Пусть f(x) – 2π-периодическая функция, интегрируемая на отрезке [-π; π]. Тогда числа а_n, b_n – называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд - рядом Фурье функции f(x).

Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции.

Теорема 2.Пусть 2π-периодическая функция f(x) и ее производная - непрерывные функции на отрезке [-π; π] или же имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причем его сумма S(x)=f(x), если х – точка непрерывности функции f(x). Если х₀ – точка разрыва f(x), то

,

где

.

Примеры решения задач

Пример1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f(х), заданную на отрезке [-π ; π].

.

Решение: Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье.

По формулам (4) находим

.

Разложение для данной функции будет

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва . В точках сумма ряда равна .•

Если функция f(x) 2π-периодичная, то при вычислении ее коэффициентов Фурье интегрирование можно выполнять по любому отрезку длиной 2π, например, на промежутке [0; 2π].

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом Т = 2π на промежутке [0; 2π].

Решение: график функции изображен на рисунке

Рисунок 1

Эта функция на отрезке задается формулами: , и , . В то же время на гораздо проще она задается одной формулой . Поэтому, интегрируя по отрезку , получаем:

. Следовательно,

Этот ряд дает задает функцию во всех точках, кроме точек разрыва .

В этих точках сумма ряда равна:

Порядок выполнения работы

1. Разложить в ряд Фурье функцию: ,

и построить график суммы ряда Фурье.

2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π ; π]

.

3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х) = 2х+3, заданную на отрезке [-π ; π]

4. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f (х), заданную на отрезке [-π ; π]

.

Ответы: 1) .

2) . 3) .

4)

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение тригонометрического ряда, тригонометрического ряда Фурье.
2. Сформулируйте теоремы о сходимости в точке ряда Фурье кусочнонепрерывной, непрерывной функций.
3. Опишите идеологию разложения в ряд Фурье непериодических функций.
4. Сформулируйте определение интеграла Фурье, признаки сходимости.
5. Сформулируйте определение преобразования Фурье.

Практическая работа № 2

Тема: «Ряд Фурье для четных и нечетных функций»

Основные вопросы: Понятие неполных тригонометрических рядов. Коэффициенты разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение функций, заданных на отрезке [а; а+2π].

Краткие теоретические сведения: Если f(-x) = f(x), т. е. f(x) – функция четная, то и

и .

Если f(-x)= - f(x)т. е. f(x) – функция нечетная, то и

и

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Рассмотрим 2π-периодическую функцию, которая на [-π ; π] задана формулой . Так как функция f(x) четная, то

, ,

, интегрируем дважды по частям, получаем

, n=1, 2, 3,… .

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

Это равенство справедливо при любом , так как функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. в частности, при имеем

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=х, если .

Решение. График функции с ее периодическим продолжением изображен на рисунке:

у

Рисунок 2

Заданная функция удовлетворяет условиясм Дирихле, поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. На промежетке функция f(x)=х – нечетная, поэтому а_n = 0 и разложим функцию по синусам.

,

откуда , … .

получаем, что функцию f(x)=х можно представить в виде

или

.

Это равенство имеет место в точках непрерывности функции f(x), т. е. во всех внутренних точках . Вне этого промежутка этот ряд изображает периодическое продолжение данной функции.

В точках разрыва ,… сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева в данных точках.

В точке

и в . Найдем среднее арифметическое этих пределов:

.

Во всех точках разрыва получим то же значение, т. е. сумма ряда равна нулю.

Полученное разложение можно записать и в таком виде:

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Решение. В промежутке заданная функция – нечетная.

Такую функцию называют ступенчатой. Ее ряд Фурье содержит только синусы.

Найдем коэффициенты b_n:

откуда … .

В итоге получаем

т. е.

В точках разрыва сумма ряда равна .

Точкой разрыва функциии является точка х=0. Учитывая условия теоремы Дирихле в этой точке сумма ряда равна нулю

Пример 4. разложите в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию с периодом , заданную в промежутке слудующим образом:

Решение. Функция f(x) задана на промежутке , но так как ее надо разложить только по косинусам, то в промежутке функцию f(x) нужно доплнить ее четным продолжением.

Найдем коэффициенты а₀ и а_n .

,

.

Вычислим первый интеграл по частям, предположив, что , имеем

.

Вычислим второй интеграл:

.

Значит,

,

откуда

Подставив значения в формулу (1), получим

Порядок выполнения работы

1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию при .

2. В промежутке разложите в ряд Фурье по косинусам функции:

а) ; б) в)

г)

Ответ: 1)

2) а) .

б) .

в)

г)

Контрольные вопросы

1. По каким функциям разлагается в ряд Фурье четная (нечетная) функция.

Практическая работа № 3

Тема: «Ряд Фурье с произвольным периодом»

Основные вопросы: Коэффициенты разложения функции с произвольным периодом. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

Краткие теоретические сведения: Если функция f(x) в промежутке –l<x<l, где l - произвольное число (l>0), удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение в ряд Фурье имеет вид

, (5)

где

, , .(6)

Ряд (6) представляет собой функцию с периодом 2l, т. е. f(x+2l)=f(x).

Если f(x) – нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только синусы:

, где . (7)

Если же f(x) – четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:

, где , . (8)

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке уравнением .

Решение. Данная функция является четной. Графиком функции служит дуга параболы, заключенная между точками (-1; 1) и (1; 1).

Рисунок 3

, .

Интегрируем по частям: ; тогда

.

Снова интегрируем по частям: , откуда

.

Подставив это значение в в (5),получим

или .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f(х), заданную на отрезке [-1; 1].

Рисунок 4

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а поэтому разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого вычислим по известным формулам.

,

,

Ответ: .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) =│x│, на отрезке [-2; 2].

Рисунок 5

Решение.f(х) =│x│, непрерывная функция, удовлетворяющая условиям теоремы о разложимости, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Она четная, поэтому разлагается в ряд Фурье только по косинусам, т. е. b_n = 0.

Находим коэффициенты а₀ и а_п искомого ряда

,

Ответ: искомый ряд Фурье данной функции

.

Пример 4. Пусть требуется разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) с периодом Т=2, которая на отрезке [-1; 1] задается равенством f(х) =│x│.

Рисунок 6

Решение. Так как рассматриваемая функция четная l=1, то , _.