Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница

5. При вычисление объема цилиндра по формуле Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , R = 36,7 cм и Н = 86,4 см. Сколько верных значащих цифр содержится в ответе?

6. Вычислите диагональ с прямоугольника, стороны которого а = 6,24 ± 0,005 см и b = 4,8 ± 0,05см. Сколько верных значащих цифр содержится в ответе?

7. С какой точностью надо измерить радиус круга,чтобы абсолютная погрешность площади круга не превышала 10 см2? Грубое приближенное значение R = 8,7 см.

Ответы

1) 3,7%; 2) 0,035; 3)1,2%; 4) 1%; 5) 364000 см3; верными являются цифры 3 и 6; 6) 7,9 ± 0,03; верными являются цифры 7 и 9; 6) до 0,2 см.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите сумму Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001 найдите Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

2. Вычислите площадь параллелограмма, если а = 68,7, и h = 52,6. Укажите верные цифры ответа.

3. Найдите границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений чисел а = 7,36 ± 0,004 и b = 8,61 ± 0,005.

4. Вычислите относительную погрешность Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

5. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значения R = 8 м.

Вариант 2

1. Вычислите разность Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru с четырьмя значащими цифрами; найти Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

2. Вычислите площадь прямоугольника, если а = 78,6, и h = 48,7. Укажите верные цифры ответа.

3. Вычислите Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , если а = 82,6, b = 93,8 и с = 61,9. Укажите границу абсолютной погрешности.

4. Вычислите относительную погрешность Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

5. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность площади квадрата не превышала 1%? Грубое приближенное значения R = 9 м.

Ответы

I вариант. 1) Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ; 2)3600; верные цифры 3 и 6; 3) Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ; 4) 0,1%; 5) до 0,02 м.

II вариант.1) Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ; 2) 3800; верные цифры 3 и 8; 3) Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ; 4) 0,02%; 5) до 0,05.

Контрольные вопросы

1. Определение абсолютной и относительной погрешности.

2. Основные правила вычисления абслютной и относительной погрешностей.

Практическая работа № 8

Тема: «Приближенное решение уравнений. Погрешности приближенных значений чисел»

Основные вопросы: Постановка задачи. Корень уравнения. Отрезок изоляции корня. Отделение корней: графический способ, аналитический способ. Метод половинного деления при решении нелинейных уравнений. Критерий остановки метода.

Краткие теоретические сведения:

Пусть задана функция f(x) на Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - конечная или бесконечная, Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru непрерывна.

Рассмотрим уравнение f(x) = 0 (1)

Определение 1. Число Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru называется корнем уравнения (1), если Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - ноль функции f(х).

Будем считать только действительные корни.

Определение 2. Корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru уравнения (1) называется изолированным, если принадлежит отрезку Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru в котором лежит корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , но в котором нет других корней уравнения (1). Отрезок Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - промежуток изоляции корня, Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - приближенный корень, Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - абсолютная погрешность абсолютного корня.

При решении уравнения (1) нужно знать приближенный корень с заданным приближением Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru степень точности, Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - приближенный корень с точностью Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , если выполняется Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Определение 3. Корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru - называется простым корнем, если Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Будем рассматривать действительные, изолированные и простые корни уравнения (1)

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Рисунок 14

Вычисление корней

1. Нахождение промежутков изоляции всех корней уравнения (1).

2. Этап уточнения приближенного корня до нужной степени точности.

Рассмотрим первый этап:

Пусть функция f(x) задана на Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и удовлетворяет условиям:

-непрерывна;

-на концах принимает разные знаки Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,

тогда на Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru уравнение (1) имеет по крайней мере один корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Рисунок 15

Теорема 2: Пусть f(x) на Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru удовлетворяет условие:

1. f(x)– непрерывна и дифференцируема;

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ;

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru сохраняет знак Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , т.е. для любого Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru возрастает (убывает), тогда Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru промежуток изоляции корня Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Так мы выяснили область расположения всех решений уравнения (1).

Область расположения всех решений можем найти графическим способом.

Пусть найден отрезок [a; b], где f(a) f(b)<0, который содержит только один корень уравнения (1). Этот неизвестный корень обозначим буквой x. На II этапе по заданному числу e > 0 требуется на отрезке [a; b] найти приближенный корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru с точностью e. Корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru будем искать итерационными методами.

Метод половинного деления

Метод половинного деления состоит в повторении (итерировании) следующей процедуры:

1) вычисление точки Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , соответствующей середине отрезка [a; b];

2) вычисление значения функции f(c);

3) переход к отрезку Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru удовлетворяющему всем свойствам отрезка [a; b], но вдвое меньшей длины.

В результате получаем последовательность {cn} середин отрезков [an; bn], длина которых неограниченно уменьшается.

«Правило останова»: вычисления прекращаются, когда впервые либо f(cn)=0, либо Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , из последнего определяется число разбиений отрезка Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Искомый приближенный корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Примеры решения задач

Пример 1. Определить корни уравнения Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Рисунок 16

Построив схематично графики функций Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , убеждаемся, что они имеют три точки пересечения, абсциссы которых принадлежат отрезку [-1;6]. Следовательно, уравнение имеет три корня и эти корни принадлежат отрезку [-1;6].

Для отделения корней составим таблицу

х -1
Знак f(x) + - - + + + +

Следовательно, промежутки изоляции корней: [-1;0],[1;2] и [5;6].

Методом половинного деления уточнить промежуток изоляции [1;2] корня Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru уравнения с точностью до 0,01. Точкой Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru делим отрезок [1;2] на два [1;1,5] и [1,5;2] и устанавливаем знак Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Значение Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,то [1,5;2] – промежуток изоляции корня Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Снова находим Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и рассматриваем отрезки [1,5;1,75] и [1,75;2].

Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,то [1,5;1,75] – промежуток изоляции корня x. Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .Сделаем еще один шаг Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и рассматриваем отрезки [1,5;1,625] и [1,625;1,75]. Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,то [1,5;1,625] – промежуток изоляции корня x. Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Сделаем еще один шаг Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и рассматриваем отрезки [1,5;1,5625] и [1,5625;1,625]. Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,то [1,5625;1,625] – промежуток изоляции корня x. Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Сделаем еще один шаг Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и рассматриваем отрезки [1,5625;1,59375] и [1,59375;1,625]. Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , то [1,5625;1,59375] – промежуток изоляции корня x. Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru . Сделаем еще один шаг Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и рассматриваем отрезки [1,5625;1,5781] и [1,5781;1,59375]. Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , то [1,5781;1,59375] – промежуток изоляции корня x. Проверяем критерий остановки: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , то вычисления можно остановить. В качестве грубого приближения корня можно взять:

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Ответ: [1;2], Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Порядок выполнения работы

1. Методом половинного деления уточнить корни уравнения Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru на промежутках : [-1;0] и [5;6] с точностью до 0,01.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается этап отделения корней при применении численных методов решения уравнений?

2. Какие свойства функции используются при нахождении промежутков изоляции корня?

3. Какие общие соображения можно использовать для оценки приближенных значений корня?

4. Какие цели преследуются при применении метода половинного деления?

Практическая работа № 9

Тема: «Приближенное решение уравнений: метод хорд и метод касательной»

Основные вопросы: Понятия метода последовательных приближений. Начальное приближение. Рекуррентная формула. Итерационная последовательность. Четыре случая выбора формулы и начального приближения. Сходимость итерационной последовательности. Оценка погрешности приближений. Комбинированный метод хорд и касательных.

Краткие теоретические сведения:Метод хорд при решении нелинейных уравнний состоит в построении последовательности {xn} по итерационной формуле Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , n=0,1,2,…,

начиная из начального приближения

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru (2)

а Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru – противоположный x0 конец отрезка [a; b].

Условие сохранения знака Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru на отрезке [a; b] является достаточным условием сходимости метода хорд. Если Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru сохраняет знак на отрезке [a; b] и выполняется условие

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

то имеет место следующее «правило останова»: вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Искомый приближенный корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Метод Ньютона (метод касательных) состоит в построении последовательности Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru (черта над xn ставится для удобства изложения) по итерационной формуле

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , n=0,1,2,…,

начиная из начального приближения Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , определенного в методе хорд (2).

Условие сохранения знаков Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru на отрезке Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru является достаточным условием сходимости метода Ньютона. Если вторая производная Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ограничена на отрезке Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и выполняется условие

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

то имеет место следующее «правило останова»: вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru |.

Искомый приближенный корень Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Комбинированный метод состоит в построении двух последовательностей Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru и Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru путем поочередного применения итерационных формул

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

начиная из начальных приближений Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,

где Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru – концы отрезка Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , определенные в (2).

Поясним комбинированный метод на рисунке 17.

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Рисунок 17

«Правило останова»: вычисления прекращаются, когда впервые удовлетворяется неравенство

| tn - Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru n| £ 2e.

Искомый приближенный корень

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Примеры решения задач

Для вычисления корня Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru [1,5;1,625] с точностью Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru применить метод хорд

Решение:

Проверим выполнение достаточных условий сходимости метода хорд:

1. [1,5;1,625] – промежуток изоляции;

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru – непрерывна всюду как многочлен

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru для Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru [1,5;1,625] имеем Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Все условия выполнены

Схематично построим график функции:

Рисунок 18

Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru ,то неподвижным остается правый конец и метод хорд принимает вид: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Используем итерационную формулу для построения последовательности с начальным приближением X0, составим таблицу

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Для вычисления значений функций Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru используем таблицу:

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru
1,5802 -0,00594 0,00052 -0,00646
1,58121 0,00046 0,00054 -0,00008
|Xn-1-Xn| 0,0802 0,00101 0,00001    
(1)-(5) 1,5802 1,58121 1,58122    
(2):(3)(4) -0,0802 -0,00101 -0,00001    
1,625- Xn 0,125 0,0448 0,04379    
0,2793-f(Xn) 0,7793 0,28576 0,27938    
f(Xn) -0,5 -0,00646 -0,00008    
Хn 1,5 1,5802 1,5802 1,5802  
n

Проверим выполнение на [1,5;1,625] неравенства Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru (3)

Имеем Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru на [1,5;1,625], то Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru функция возрастающая и значит:

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru .

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Ввиду выполнения неравенства (3) имеем оценку погрешности

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Вычисления прекращаются и Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru –приближенное значение корня x с заданной точностью.

Ответ: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

IV Для вычисления корня Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru [1,5;1,625] применить метод Ньютона

Решение:

Помимо условий проверенных в задании IIIдля сходимости метода Ньютона требуется еще условие сохранения знака производной. Проверим это условие: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Так как Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru возрастает на [1,5;1,625], то Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru для Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru [1,5;1,625] начальное приближение Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru выберем из условия Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Последовательные приближения вычисляются по формулам

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , n=0,1,2…

Для вычисления составим таблицу:

n Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru
 
1,625 0,2793 6,45312 0,04328 1,58172 0,04328
1,58172 0,00313 6,30684 0,00049 1,58123 0,00049
1,58123 0,00004 6,30512 0,00001 1,58122 0,00001
1,58122          

Вычисления прекращаются в виду достижения точности

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Ответ: Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

IV Для вычисления корни x с точностью не менее 10-4 применить комбинаторный метод.

Решение:

Вычисления проводятся по формулам:

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , n=0,1,2…

Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , Интерполяционный многочлен Лагранжа 3 страница - student2.ru , n=0,1,2…

Составим таблицу для вычислений

f(Xn) 6,29534   (2)-(10) 1,57845 1,58122  
(1)-(7)   1,5802 1,58123   (5):(9) 0,04655 -0,00277  
(4):(6) (3) -0,0802 -0,00103  
(5)-(4) 0,7793 -0,01101  
f(Xn) 0,2793 -0,01747  
f(Xn) -0,5 -0,00646  
(2)–(1) 0,125 -0,00175 -0,00001
хn 1,625 1,57845 1,58122
хn 1 1,5 1,5802 1,58123
n  

Наши рекомендации