П.1 Умножение вектора на число.

Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними. Линейная зависимость и независимость векторов. Скалярное произведение векторов.

§ 5.1 Векторы: основные понятия.

В математике и ее приложениях различают два типа величин: скалярные и векторные.

Определение 5.1 Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, масса тела, объем и др.

Другие величины, такие как скорость, ускорение, представляют собой величины, задание которых имеет смысл только тогда, когда кроме их численных значений указывается и их направление в пространстве. Такие величины называются векторными.

Определение 5.2 Направленный отрезок или упорядоченная пара точек, называется вектором.

Основные понятия:

Вектор с началом А и концом В будем обозначать . Часто вектор обозначается одной буквой , и т.д. Если отрезок АВ соответствует вектору , то будем писать = .

Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым, а при несовпадении этих точек – ненулевым.

Длиной вектора или его модулем называется длина соответствующего направленного отрезка. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.

Вектор = называется параллельным прямой l (плоскости P), если либо он нулевой, либо прямая, проходящая через точки A и B, параллельна прямой l (плоскости P). Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов и записывают так: = .

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно перемещать в любую точку пространства.

Линейные операции над векторами.

П.1 Умножение вектора на число.

Определение 5.3 Произведением вектора на число называется вектор , имеющий направление вектора , если , и противоположное направление, если . Длина этого вектора равна произведению длины вектора на модуль числа .

Из определения следует, что вектор коллинеарен вектору . Результат умножения вектора на число записывается равенством .

Свойства произведения вектора на число:

1) для любых чисел и и любого вектора справедливо равенство ;

2) если вектор , то для любого коллинеарного ему вектора существует, и при этом только одно, число , удовлетворяющее равенству .