Методические указания к задаче №6

Расстояние между двумя точками и находится по формуле

. (6)

Например, расстояние между точками и равно

Координаты точки – середины отрезка AB равны полусуммам одноименных координат, т.е., если и , то (7)

Например, точка M – середина отрезка AB, если A(2;-1) и B(5;3), имеет координаты: .

Общее уравнение прямой: . (8)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и имеет вид: (9)

Например, уравнение прямой, проходящей через точки A(2;-1) и B(5;3), запишется:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: (10),

где – угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс.

Уравнение с угловым коэффициентом (10) получается из общего уравнения (8), если из него выразить y:

.

Например, полученное выше общее уравнение прямой AB: , запишется уравнением с угловым коэффициентом: .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении: (11)

Точка пересечения двух прямых и находится как решение системы двух линейных уравнений:

.

Угол α между двумя прямыми определяется через угловые коэффициенты этих прямых по формуле:

, (12)

Где и – угловые коэффициенты данных прямых.

Две прямые параллельны, если , перпендикулярны, если , т.е. . (13)

Вектор – это направленный отрезок , т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если A – начало вектора, а B – его конец, то вектор обозначается .

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты его начала. Т.е., если и , то . (14)

Например, если A(2;-3) и B(5;1), то .

Длиной вектора называется длина отрезка AB и обозначается . Длину вектора вычисляют по формуле:

(15)

Например, длина вектора равна

Скалярным произведением вектора и вектора называется число, равное:

(16)

Например, скалярное произведение векторов и равно: .

Угол между векторами и задается формулой: . (17)

Например, найдем угол между векторами и . Для этого найдем сначала длину каждого вектора: Затем найдем скалярное произведение этих векторов: Тогда

Пример. Даны вершины треугольника ABC: . Найти: 1) уравнение прямой AB; 2) уравнение высоты CD и ее длину; 3) координаты векторов и ; 4) угол A треугольника ABC.

Решение. Выполним чертеж к задаче (рис. 1)

y

A

C

D x

B Рис. 1

1) Уравнение прямой AB запишем по формуле (9):

т.к. то примем и получим

Выразим y:

2) Составим уравнение высоты CD. Т.к. , то ее угловой коэффициент:

Уравнение CD запишем по формуле (11): т.к. она проходит через точку в направлении, заданном угловым коэффициентом Получим:

Чтобы найти длину высоты CD, необходимо знать координаты точки D. Найдем их, решив систему уравнений:

Координаты точки D(2; 0). Длину высоты CD найдем как расстояние между точками и D по формуле (6):

3) Координаты векторов и по формуле (14): ,

.

4) Угол A треугольника ABC можно найти как угол между векторами и по формуле (17). Для этого найдем длины этих векторов (15) и их скалярные произведения (16):

Ответ. 1) Уравнение стороны AB:

2) Уравнение высоты CD: Ее длина

3)

4) Угол между векторами и равен .