Умножение вектора на число

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Пусть Î Vⁿ, и координаты вектора = ( ).

Определение. Умножить вектор на действительное число l Î R означает найти вектор Î Vⁿ такой, что его координаты = l .

Обозначение: = l

Замечания.

1) Ясно, что определение умножения вектора на число сформулировано для фиксированной системы координат, и требуется доказательство корректности определения (то есть того, что результат умножения вектора на число не зависит от выбора системы координат).

2) В определении не утверждается существование вектора , этот факт требует отдельного доказательства.

3) Интересен вопрос о геометрическом смысле умножения вектора на число; как это умножение выглядит для представителей векторов – для направленных отрезков.

4) При умножении вектора на число ноль получится нуль-вектор не зависимо от системы координат, и при умножении нуль-вектора на любое число получится нуль-вектор не зависимо от системы координат.

Лемма. Любой вектор можно умножить на любое число, причем в данной системе координат результат определен однозначно.

Доказательство.

Существование.

Пусть Î Vⁿ, и координаты вектора = ( ), и пусть l Î R.

Найдем вектор = l .

Возьмем направленный отрезок , где точка O – начало координат, точка B (l ).

Координаты этого направленного отрезка равны = (l ).

Пусть вектор такой, что = .

Тогда по определению = l .

Единственность (в данной системе координат).

Пусть вектор такой, что = l , тогда его координаты по определению _’ = l , то есть _’ = и = .

Лемма (Простейшие свойства умножения вектора на число (в данной системе координат)).

1) Если = l , то | | = | l | | | для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

2) 0 = q для любого вектора Î Vⁿ.

3) lq = q для любого числа l Î R.

4) 1 ´ = для любого вектора Î Vⁿ.

5) (l m) = l (m ) = m (l ) для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R

Доказательство.

1. Пусть = l , и пусть координаты этих векторов =( ), = ( ). Тогда по определению = l .

Найдем длины этих векторов: | | = || ||, | | = || l || = | l | || || = | l | | |.

2. Пусть координаты вектора = ( ). Тогда координаты вектора 0 будут следующие: (0´ ) = q.

3. Так как все координаты нуль-вектора равны нулю, при умножении их на число l эти координаты останутся нулевыми, а значит, зададут нулевой вектор.

4. Координаты векторов и 1 ´ совпадают, так как координаты вектора при умножении число 1 не изменятся, следовательно, = 1 ´ .

5. Пусть координаты вектора = ( ). Найдем координаты векторов (l m) , l (m ) и m (l ): (l m) = (lm) , l (m ) = l( m )= (lm) , m (l ) = m (l ) = (l m) . Координаты данных векторов равны, следовательно и векторы равны друг другу.

Лемма.Пусть векторы , Î Vⁿ ( ≠ q) отложены от одной точки O так, что = , = . Тогда для того чтобы = l (l Î R) необходимо и достаточно, чтобы точка B делила OA в отношении l.

Доказательство.

1) Пусть = l и = , = .

Выразим координаты векторов и через координаты точек O,A и B:

координаты вектора : = -

координаты вектора : = -

Так как = l , то - = l ( - ), то есть = (1-l) + l .

Следовательно, точка B делит OA в отношении l.

2) Пусть точки O,A и B такие, что точка B делит OA в отношении l и = , = .

Так как B делит OA в отношении l, то = (1-l) + l , то есть

- = l ( - ), и координаты векторов и таковы, что = l .

Следовательно, = l .

Следствие. Если = , = и = l (l Î R) , то точки O,A,B лежат на одной прямой, более того при ≠ q , l > 0 лучи OA и OB совпадают,

при ≠ q , l < 0 лучи OA и OB являются дополнительными друг к другу.

Доказательство(непосредственно по определению «деления в отношении», см. § …)

Следствие. Умножение вектора на число не зависит от выбора системы координат.

Доказательство.

Понятие умножения вектора на число сводится (свелось) к понятиям «откладывание вектора от точки» и «точка делит “отрезок” в отношении», которые не зависят от выбора системы координат.

Следствие. Пусть векторы , Î Vⁿ ( ≠ q, ≠ q) отложены от различных точек O и O’ так, что = , = . Тогда для того, чтобы существовало число l Î R, l ≠ 0 такое, что = l необходимо и достаточно, чтобы OA | | O’B.

Доказательство.

1) Пусть существует число l Î R, l ≠ 0 такое, что = l (l ≠ 0).

Отложим вектор от точки O’: = .

Тогда OO’A’A – параллелограмм (см. § 8), следовательно, O’A’ | | OA.

С другой стороны, точки O’,A’ и B лежат на одной прямой, поэтому OA | | O’B.

2) Пусть векторы = , = ( ≠ q, ≠ q) и OA | | O’B. Отложим вектор от точки O’: = . Тогда четырехугольник OO’A’A является параллелограммом и O’A’ | | OA, значит точки O’,A’ и B лежат на одной прямой.

Та как точки O’ и A’ различны ( ≠ q ), то существует такое число l Î R, что точка B делит O’A’ в отношении l. Следовательно, = l .

Определение. Будем называть векторы и коллинеарными, если существует такое число l Î R, что = l или = l .

Обозначение: | | .

Замечания.

1) Нуль-вектор коллинеарен любому вектору.

2) Как видно из геометрического «смысла» умножения вектора на число два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их представители лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

3) Как видно из определения коллинеарности векторов, векторы коллинеарны тогда, и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Определение. Будем называть векторы и сонаправленными, если существует такое неотрицательное число l Î R (l ³0) , что = l или = l .

Обозначение: ­­ .

Замечание.

1) Два не нулевых вектора и сонаправлены тогда и только тогда, когда при = , = лучи OA и OB совпадают.

2) Два не нулевых вектора и сонаправлены тогда и только тогда, когда при = , = точки A и B лежат по одну сторону от прямой OO’.

РИС. 20

Определение. Будем называть векторы и противоположно направленными, если существует такое неположительное число l Î R (l £ 0) , что = l или = l .

Обозначение: ­¯ .

Определение. Два направленных отрезка будем называть коллинеарными (сонаправленными, противоположно направленными), если они являются представителями коллинеарных (сонаправленных, противоположно направленных) векторов.

Упражнения.

1. Является коллинеарность (сонаправленность) на множестве Vⁿ отношением эквивалентности?

2. Докажите, что два направленных отрезка равны тогда, и только тогда, когда они сонаправлены и имеют одинаковые длины.

Сумма векторов

Пусть в Eⁿ фиксирована декартова система координат.

Определение. Суммой векторов и ( , Î Vⁿ) будем называть вектор Î Vⁿ, координаты которого – это сумма координат векторов и , то есть = + .

Обозначение: = + - « вектор равен сумме векторов и .

Замечание. Определение суммы введено при фиксированной системе координат, и пока не ясно зависит ли результат суммы двух векторов от выбора системы координат.

Теорема. (Свойства суммы векторов).

1. Операция суммы векторов коммутативна, то есть + = + для любых векторов , Î Vⁿ .

2. Операция суммы векторов ассоциативна, то есть + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , , Î Vⁿ .

3. Нуль-вектор является нейтральным элементом относительно операции суммы векторов, то есть + q = для любого вектора Î Vⁿ .

4. Для любого вектора Î Vⁿ существует вектор (- )ÎVⁿ такой, что + (- ) = q

5. l ( + ) = l + l для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

6. (l + m) = l + m для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R.

Доказательство.

1) Так как + = + , то + = + .

2) Так как + ( + ) = ( + ) + , то + ( + ) = ( + ) + .

3) Так как + = , то + q = .

4) Пусть = ( ), возьмем вектор (- ) с координатами: (- ) = (- ).

Так как + (- ) = , то + (- ) = q.

5) Так как l( + ) = l + l , то l( + ) = l + l .

6) Так как (l + m) = l + m , то (l + m) = l + m .

Замечание.

Свойства 1- 4 операции суммы векторов говорят о том, что множество Vⁿ относительно операции суммы – это коммутативная группа.

Определение. Вектор (- ) такой, что + (- ) = q будем называть противоположным к вектору .

Замечания.

1) Для нуль-вектора противоположным будет тоже нуль-вектор.

2) Вектор противоположный к противоположному к вектору - это вектор ,

то есть -(- ) = .

3) (-1) = - .

4) Для любого вектора существует единственный вектор противоположный к данному.

Теорема. (Правило треугольника для суммы векторов).

Пусть , Î Vⁿ и точки A,B,C Î Eⁿ такие, что = , = . Тогда = + .

Доказательство.

Пусть = ( ), = ( ), A ( ), B ( ) и C ( ), и пусть вектор такой, что

= + .

Так как = , = , то - = и - = .

Тогда координаты вектора будут следующими:

+ = ( - ) + ( - ) = - , то есть = .

РИС. 21

Следствие. Результат суммы векторов не зависит от выбора системы координат.

Доказательство.

Понятие суммы векторов свелось к понятию «откладывания вектора от точки» , которое не зависит от выбора системы координат.

Следствие. Пусть = , тогда = (- ).

Доказательство.

Так как + = = q, то - представитель вектора противоположного вектору .

Следствие. (Правило параллелограмма для суммы двух векторов.)

Пусть , Î Vⁿ – не коллинеарные векторы, точки A,B,C, D Î Eⁿ такие, что = , = и ABCD – параллелограмм. Тогда = + .

Доказательство.

Так как ABCD – параллелограмм, то = = (см. § 8), поэтому + = + = .

РИС. 22

Определение. Разностью вектора и вектора будем называть вектор, который равен сумме вектора и вектора (- ).

Обозначение: - = + (- ).

Следствие. = - Û = - .

Замечание. Множество векторов Vⁿ с операциями умножения на число и суммой элементов является частным случаем векторного (линейного) пространства. В дальнейшем будем употреблять термин «пространство Vⁿ» подразумевая множество Vⁿ вместе с данными операциями.

Упражнения.

1) Докажите, что | | + | | ³ | + | для любых векторов , Î Vⁿ .

2) Докажите правило параллелограмма для суммы векторов, не ссылаясь на правило треугольника.

3) Докажите , что если = , = , … = (n Î N), то + + …+ = + +…+ (правило многоугольника для суммы векторов).

4) Докажите, что для любого вектора Î Vⁿ существует единственный вектор ÎVⁿ такой, что + = q.

5) Сформулируйте и докажите правило аналогичное правилу треугольника для разности векторов.

§ 11. Базис пространства V².