Умножение вектора на число.

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 4. Элементы векторной алгебры (12 часов, 6 лекций)

Лекция 1

Понятие геометрического вектора, его характеристики. Виды векторов

В физике и других науках встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются численным значением в выбранной системе единиц. Это масса, температура, объем. Векторные величины характеризуются численным значением и направлением. Это сила, скорость, ускорение.

Определение 1. Геометрический вектор - это направленный отрезок.

Умножение вектора на число. - student2.ru

   
  Умножение вектора на число. - student2.ru
 
  Умножение вектора на число. - student2.ru

Определение 2. Модуль вектора, или длина вектора – это расстояние между на Умножение вектора на число. - student2.ru чалом концом вектора.Обозначения Умножение вектора на число. - student2.ru , Умножение вектора на число. - student2.ru .

Определение 3. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаково направлены (параллельны и направлены в одну сторону).

Умножение вектора на число. - student2.ru

Рис. 1

На рис. 1 векторы Умножение вектора на число. - student2.ru и Умножение вектора на число. - student2.ru равные, векторы Умножение вектора на число. - student2.ru и Умножение вектора на число. - student2.ru имеют разную длину, а векторы Умножение вектора на число. - student2.ruи Умножение вектора на число. - student2.ru , Умножение вектора на число. - student2.ru и Умножение вектора на число. - student2.ru имеют разные направления.

Определение 4. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой ( Умножение вектора на число. - student2.ru ) .

Определение 5. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Коллениарные -если они лежат на одной прямой или лежат на двух разных параллельных прямых.

Ортогональные – если лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Линейные операции над векторами в геометрической форме,

Их свойства

Сложение.

а) правило параллелограмма: если векторы имеют общее начало, то сумма векторов – это вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Из рисунка видно, что Умножение вектора на число. - student2.ru .

Рис. 1

б) правило треугольника: если векторы расположены последовательно, то есть конец первого является началом второго, то сумма векторов – это вектор, начало которого является началом первого, конец – это конец второго.

 
  Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Рис. 2

Используя это правило, легко доказать, что Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

в) правило многоугольника: это обобщение правила треугольника, используется при последовательном расположении нескольких векторов, сумма нескольких последовательных векторов – это вектор, начало которого – это начало первого, а конец – это конец последнего.

Умножение вектора на число. - student2.ru Умножение вектора на число. - student2.ru Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru

Умножение вектора на число. - student2.ru Умножение вектора на число. - student2.ru

Определение 1.Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю, направление любое.

Определение 2.Если поменять начало и конец вектора местами, то получится вектор, противоположный данному.

Вычитание.

Умножение вектора на число. - student2.ru

Вычесть из одного вектора другой – это значит к данному вектору прибавить вектор, противоположный второму: Умножение вектора на число. - student2.ru .

Умножение вектора на число.

Если данный вектор Умножение вектора на число. - student2.ru умножить на число Умножение вектора на число. - student2.ru , получится следующий вектор Умножение вектора на число. - student2.ru :

если Умножение вектора на число. - student2.ru , то Умножение вектора на число. - student2.ru Умножение вектора на число. - student2.ru ,

если Умножение вектора на число. - student2.ru , то Умножение вектора на число. - student2.ru .

Если Умножение вектора на число. - student2.ru , то длина вектора увеличится в Умножение вектора на число. - student2.ru раз, если Умножение вектора на число. - student2.ru , то длина уменьшается в Умножение вектора на число. - student2.ru раз.

Умножение вектора на число. - student2.ru

Свойства операции

1. Умножение вектора на число. - student2.ru 2. Умножение вектора на число. - student2.ru

3. Умножение вектора на число. - student2.ru

4. Умножение вектора на число. - student2.ru

5. Умножение вектора на число. - student2.ru

6. Умножение вектора на число. - student2.ru

7. Умножение вектора на число. - student2.ru

Доказательство 4. Если Умножение вектора на число. - student2.ru , то Умножение вектора на число. - student2.ru ;

если Умножение вектора на число. - student2.ru , то Умножение вектора на число. - student2.ru ;

если Умножение вектора на число. - student2.ru и имеют разные знаки, то в обеих частях равенства будут нули.

5.

Умножение вектора на число. - student2.ru

Определение 3.Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора Умножение вектора на число. - student2.ru , называется ортом и обозначается Умножение вектора на число. - student2.ru .

Умножение вектора на число. - student2.ru .

Лекция 2

Наши рекомендации