Умножение вектора на число – умножение каждой компоненты на это число

Векторы. Определения. Операции

Векторразмера n –совокупностьnчисел, заданных в определенном порядке.

Обозначается a =(a₁ , a₂ , ….a_n).

Числаa₁ , a₂ , ….a_n – компоненты вектора; n- его размерность.

Единичный вектор –все его компоненты равны 1. Обозначается 1

Нуль-вектор -все его компоненты равны 0. Обозначается .

Противоположный вектор – a =(-a₁ , -a₂ , ….-a_n). Очевидно a +(– a) =0

Основные операции:

1) Алгебраическая сумма двух векторов = алгебраической сумме их компонент

Умножение вектора на число – умножение каждой компоненты на это число

3) Скалярное произведение двух векторов – число, равное сумме произведений одноименных координат данных векторов

< a,b > =a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n

Основные свойства скалярного произведения:

< a,b >=< b ,a>; β< a, b >= < βa, b > ; < a+ b, с>=< a,с>+ <b,с>; < a, a> >=0

Пример 1.

Пусть в производственное объединение входят две мебельные фабрики. Объем годового выпуска продукции каждой фабрики составляет:

Продукция Фабрика	столы	стулья	кресла	кровати	вектор
					a
					b

Матрицы. Определения. Операции

Матрицаразмера m xn –совокупностьчисел прямоугольной таблицы, состоящей из mстрокиnстолбцов.

Обозначается

А= или А=(a_i,j), i=1,2…m; j= 1,2…n

Числа a_i,j – элементы матрицы, строки и столбцы – ее ряды.

Множество всех матриц размера m xnобозначается R^mxn, А=R^mxn

Основные определения и свойства матриц

1. Две матрицы Аи Водного и того же размераравны, если равны соответствующие элементы, а_i,j = b_i,j

2. Вектор – столбец – матрица, состоящая из одного столбца

3. Вектор – строка – матрица, состоящая из одной строки

4. Нулевая матрица – все ее элементы =0; обозначатся О^mxn

5. Квадратная матрица – m=n (число строк равно числу столбцов)

6. Главная диагональ квадратной матрицы – элементы а_i,i , лежащие на главной диагонали

7. Треугольная матрица – квадратная матрица, такая, что все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

8. Единичная матрица Е – все элементы на главной диагонали а_i,I =1, остальные элементы равны нулю.

9. Транспонированная матрица А^Т – матрица, полученная из исходной матрицы Азаменой строк на столбцы с сохранением порядка.

10. Сумма двух матриц C=A+B , А= (а_i,j)и В= (b_i,j)одного и того же размера – матрица С = (с_i,j ) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц –

с_i,j= а_i,j+ b_i,j: C=A-B с_i,j= а_i,j- b_i,j

11. Произведение матрицы на число – всеэлементы исходной матрицы умножаются на это число. В=2А (b_i,j =2a_i,j). Очевидное следствие : общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы

12. Произведение двух матриц Аи В.Произведение имеет смысл, если

число столбцов первого сомножителя (например, А)совпадаетс числомстрок второго сомножителя (например, В).Пусть А= R^mxn, В=R^nхк,тогда С = АВ =R^mxk.

Операция произведения двух матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C= A(BC); α(AB)= (αA)B; (A+B)C=AC+BC; (AB)^T = B^TA^T;

AE=EA=A

2) AB ≠BA в общем случае. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными

3) Квадратную матрицу А можно возвести в квадрат, куб, в к –ую степень, получить А^к

4) А⁰ =Е

Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов Р₁, Р₂, Р₃ и использует сырье двух типов S₁ и S₂.

Матрица А_3х2 (технологическая). Показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство продукции i-го вида.

А=

План выпуска продукции задан вектором- строкой С,

С=

Стоимость единицы сырья каждого типа задается вектором – столбцом В

В=

Матрица – строка затрат сырья может быть записана в матричном виде S = CA = =

Тогда общая стоимость сырья

Q = SB = =730*30 + 980*50 = 70900 ден. ед.

3. Применение матриц в задаче планирования производства

Предприятие выпускает n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов. Известна технологическая матрица А_mxn затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции. Элемент a_i,j равен количеству ресурса i-го вида (i = 1..m) , необходимого для производства продукта j-го вида (j=1..n). Каждый столбец матрицы А описывает некую технологию.

Известен вектор b (b_i, i=1..m) , имеющихся в распоряжении предприятия объемов ресурсов.

Известен также вектор C удельной прибыли предприятия. Элемент с_j , j=1..n, - прибыль предприятия от реализации единицы продукции j–го вида.

Если обозначить через x_j план производства продукции j–го вида, то производственная программа будет задаваться вектором Х

Тогда произведение АХ характеризует суммарные расходы ресурсов на реализацию плана. Очевидно, АХ ≤b, т.е.

a_i,1x₁ + a_i,2x₂+…+a_i,nx_n ≤b_i i=1..m

Прибыль предприятия от реализации всей произведенной продукции равна

z= с₁x₁+ c₂x₂ +…+c_nx_n

Задача заключается в том, чтобы отыскать такой план производства, который обеспечит предприятию наибольшую прибыль

Поставленная выше задача является оптимизационной, решается методом линейного программирования. Метод был разработан лауреатом Нобелевской премии в области экономики, академиком Л. В. Конторовичем.

Обратная матрица

Пусть А– квадратная матица. Если существует матрица В, такая, что АВ=Е,то говорят, что В– обратная матрица.

Обратную матрицу обозначают А^-1.Обратная матрица перестановочна с исходной, т.е А А^-1 = А^-1А = Е

Очевидно, (А А^-1)^-1 =А

Пример 1

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример 2

Определители:

Пример 3 Вычисление коэффициентов обратной матрицы

Дана система линейных алгебраических уравнений. Решить методом обратной матрицы

Векторы. Определения. Операции

Векторразмера n –совокупностьnчисел, заданных в определенном порядке.

Обозначается a =(a₁ , a₂ , ….a_n).

Числаa₁ , a₂ , ….a_n – компоненты вектора; n- его размерность.

Единичный вектор –все его компоненты равны 1. Обозначается 1

Нуль-вектор -все его компоненты равны 0. Обозначается .

Противоположный вектор – a =(-a₁ , -a₂ , ….-a_n). Очевидно a +(– a) =0

Основные операции:

1) Алгебраическая сумма двух векторов = алгебраической сумме их компонент

Умножение вектора на число – умножение каждой компоненты на это число

3) Скалярное произведение двух векторов – число, равное сумме произведений одноименных координат данных векторов

< a,b > =a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n

Основные свойства скалярного произведения:

< a,b >=< b ,a>; β< a, b >= < βa, b > ; < a+ b, с>=< a,с>+ <b,с>; < a, a> >=0

Пример 1.

Пусть в производственное объединение входят две мебельные фабрики. Объем годового выпуска продукции каждой фабрики составляет:

Продукция Фабрика	столы	стулья	кресла	кровати	вектор
					a
					b

Матрицы. Определения. Операции

Матрицаразмера m xn –совокупностьчисел прямоугольной таблицы, состоящей из mстрокиnстолбцов.

Обозначается

А= или А=(a_i,j), i=1,2…m; j= 1,2…n

Числа a_i,j – элементы матрицы, строки и столбцы – ее ряды.

Множество всех матриц размера m xnобозначается R^mxn, А=R^mxn

Основные определения и свойства матриц

1. Две матрицы Аи Водного и того же размераравны, если равны соответствующие элементы, а_i,j = b_i,j

2. Вектор – столбец – матрица, состоящая из одного столбца

3. Вектор – строка – матрица, состоящая из одной строки

4. Нулевая матрица – все ее элементы =0; обозначатся О^mxn

5. Квадратная матрица – m=n (число строк равно числу столбцов)

6. Главная диагональ квадратной матрицы – элементы а_i,i , лежащие на главной диагонали

7. Треугольная матрица – квадратная матрица, такая, что все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

8. Единичная матрица Е – все элементы на главной диагонали а_i,I =1, остальные элементы равны нулю.

9. Транспонированная матрица А^Т – матрица, полученная из исходной матрицы Азаменой строк на столбцы с сохранением порядка.

10. Сумма двух матриц C=A+B , А= (а_i,j)и В= (b_i,j)одного и того же размера – матрица С = (с_i,j ) того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц –

с_i,j= а_i,j+ b_i,j: C=A-B с_i,j= а_i,j- b_i,j

11. Произведение матрицы на число – всеэлементы исходной матрицы умножаются на это число. В=2А (b_i,j =2a_i,j). Очевидное следствие : общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы

12. Произведение двух матриц Аи В.Произведение имеет смысл, если

число столбцов первого сомножителя (например, А)совпадаетс числомстрок второго сомножителя (например, В).Пусть А= R^mxn, В=R^nхк,тогда С = АВ =R^mxk.

Операция произведения двух матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C= A(BC); α(AB)= (αA)B; (A+B)C=AC+BC; (AB)^T = B^TA^T;

AE=EA=A

2) AB ≠BA в общем случае. Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными

3) Квадратную матрицу А можно возвести в квадрат, куб, в к –ую степень, получить А^к

4) А⁰ =Е

Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов Р₁, Р₂, Р₃ и использует сырье двух типов S₁ и S₂.

Матрица А_3х2 (технологическая). Показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство продукции i-го вида.

А=

План выпуска продукции задан вектором- строкой С,

С=

Стоимость единицы сырья каждого типа задается вектором – столбцом В

В=

Матрица – строка затрат сырья может быть записана в матричном виде S = CA = =

Тогда общая стоимость сырья

Q = SB = =730*30 + 980*50 = 70900 ден. ед.

3. Применение матриц в задаче планирования производства

Предприятие выпускает n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов. Известна технологическая матрица А_mxn затрат ресурсов на производство единицы каждого вида продукции. Элемент a_i,j равен количеству ресурса i-го вида (i = 1..m) , необходимого для производства продукта j-го вида (j=1..n). Каждый столбец матрицы А описывает некую технологию.

Известен вектор b (b_i, i=1..m) , имеющихся в распоряжении предприятия объемов ресурсов.

Известен также вектор C удельной прибыли предприятия. Элемент с_j , j=1..n, - прибыль предприятия от реализации единицы продукции j–го вида.

Если обозначить через x_j план производства продукции j–го вида, то производственная программа будет задаваться вектором Х

Тогда произведение АХ характеризует суммарные расходы ресурсов на реализацию плана. Очевидно, АХ ≤b, т.е.

a_i,1x₁ + a_i,2x₂+…+a_i,nx_n ≤b_i i=1..m

Прибыль предприятия от реализации всей произведенной продукции равна

z= с₁x₁+ c₂x₂ +…+c_nx_n

Задача заключается в том, чтобы отыскать такой план производства, который обеспечит предприятию наибольшую прибыль

Поставленная выше задача является оптимизационной, решается методом линейного программирования. Метод был разработан лауреатом Нобелевской премии в области экономики, академиком Л. В. Конторовичем.