Последовательность. Предел последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

Числа называются членами последовательности, а число – общим членом последовательности.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер , что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство

.

Обозначается .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противно случае – расходящейся.

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство

.

Обозначается: б.м. .

Определение.

1. Последовательность называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

Обозначается

2. Последовательность называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство

Обозначается

Последовательность , все члены которой отличны от нуля, - бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность бесконечно большая.

Кроме того, полезно иметь в виду следующее:

1. Пусть . Тогда

2. Пусть (в том числе ), (соответственно, , в том числе ), Тогда (соответственно, ).

Предел функции

Определение. Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке .

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого найдется такое, что при

Это записывают так: .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.

Если существуют и , то

1) ;

2) ;

3) (при ).

Определение.

1. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство .

Обозначается:

2. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любого числа найдется такое число , что для всех значений выполняется неравенство .

Обозначается:

Определение.

1. Пусть функция f(x) определена в правой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале , где . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) справа в точке а (или правосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к а и такой, что все ее члены больше, чем а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначается:

2. Пусть функция f(x) определена в левой полуокрестности точки а, т.е. на некотором интервале , где . Тогда говорят, что число А называется пределом функции f(x) слева в точке а (или левосторонним пределом), если для любой последовательности , сходящейся к а и такой, что все ее члены меньше, чем а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Обозначается:

Очевидно, что существует в том и только в том случае, когда существуют и односторонние пределы и , причем все три числа равны, т.е.

= = .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Непрерывность функции

Определение. Функция называется непрерывной при х = а
(в точке а), если:

1) функция определена в точке а и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции в точке а;

3) этот предел равен значению функции в точке а, т.е.

.

Определение. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Определение. Точка а, в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, называется точкой разрыва функции.

Если в точке а существуют конечные пределы и , такие что , то а называется точкой разрыва первого рода. Если в точке а существует конечный предел , а не определено или , то эта точка называется точкой устранимого разрыва. Точки разрыва первого рода функции, не являющиеся точками устранимого разрыва, называются точками скачка этой функции, при этом величина называется скачком функции в точке а.

Если хотя бы один из пределов и не существует или равен бесконечности, то точку а называют точкой разрыва второго рода.

Решение типового задания.

Пример 1. Найти

Решение.Так как пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . «Раскроем» эту неопределенность, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель (x+2):

Пример 2.Найти .

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x⁴. В результате получим

поскольку при функции 5/x³ и 7/x⁴ являются бесконечно малыми.

Пример 3. Найти

Решение.Здесь мы также имеем неопределенность вида .

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю:

Пример 4.Найти

Решение.Так как под знаком предела, то

Пример 5. Найти

Решение.

Задачи №91-120:

Найти пределы (не применяя правило Лопиталя):