Понятие производной и дифференциала
Определение.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.
Разберем смысл этого понятия. Учитывая смысл понятия предела, можно записать
или .
Отсюда следует, что является коэффициентом пропорциональности между приращением функции и приращением аргумента , который показывает, как изменяется функция при изменении аргумента на единицу.
Механический смысл производной - это мгновенная скорость точки.
Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой .
Если точка касания имеет координаты , то уравнение касательной записывается в виде
В общем случае, производная - это скорость изменения функции.
Нахождение производной называется дифференцированием функции. Производная функции находится с помощью таблицы основных производных (таблица 3.1) и основных правил дифференцирования.
Таблица 3.1 – Таблица производных основных элементарных функций
Функция | Производная |
Определение. Дифференциал функции – это главная линейная часть приращения функции
Приближенно дифференциал функции равен приращению функции
Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную .
Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается . Механический смысл второй производной - это ускорение точки.
Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка - .
В общем случае определяется производная n-го порядка - .
.
Правила дифференцирования
Пусть функции и имеют производные, тогда справедливы следующие правила.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций:
.
3. Производная произведения двух функций находится по формуле:
.
4. Производная частного вычисляется по формуле:
.
5. Производная сложной функции , где находится по формуле
6. Производная обратной функции , где и находится по формуле
7. Производная функции заданной параметрическими уравнениями
находится по формуле
.
Пример 3.1. Найти производные функций:
а) ; б) .
Решение.
Используя данные таблицы производных, получим:
а)
б)
Пример 3.2. Найти производные функций:
а) б) .
Решение.
Используя данные таблицы производных и правила производной частного и произведения, получим:
б) .
Пример 3.3.Найти производную сложной функции .
Решение.
Обозначим , тогда получим .
Воспользуемся правилом производной сложной функции и таблицей производных, получим
Пример 3.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .
Решение.Обратная функция имеет производную . Следовательно,
.
Пример 3.5. Найти производную функции заданной уравнением .
Решение.Продифференцируем уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х.
.
Выразим из полученного уравнения , получим
.
Пример 3.6.Найти производную функции заданной системой
.
Решение.По правилу производной функции заданной параметрическими уравнениями находим
.