Понятие дифференциала функции

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке:

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (4.3) принимает вид

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Из равенства (4.4) производную f'(x) в любой точке х мож­но вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 4.3). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x0, точка N — зна­чению аргумента x0 + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее при­ращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получа­ем, что АВ = Δx tg φ = f'(x0) Δx = dy, т.е. это главная по по­рядку величины Δx и линейная относительно нее часть прира­щения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функ­ции в точке на ее дифференциал:

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Абсолютная погрешность от такой замены является, как сле­дует из рис. 4.3, при Δx Понятие дифференциала функции - student2.ru 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Формула (4.6) является основной в приближенных вычисле­ниях.

Пример. Вычислить приближенное значение корня Понятие дифференциала функции - student2.ru .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x0,5 в окрестности точки x0 = 1. Поскольку, как будет показано далее, производ­ная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = Понятие дифференциала функции - student2.ru ,то,принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Приведем без доказательства одну из основных теорем диф­ференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференци­руемы в этой точке, причем справедливы следующие форму­лы:

Понятие дифференциала функции - student2.ru

Таблица производных простейших элементарных функций

Производные всех простейших элементарно функций мо­жно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (xα)' = αxα-1; в частности, Понятие дифференциала функции - student2.ru = - Понятие дифференциала функции - student2.ru , ( Понятие дифференциала функции - student2.ru )' = Понятие дифференциала функции - student2.ru .

3. (logax)' = Понятие дифференциала функции - student2.ru logae; в частности, (ln x)' = Понятие дифференциала функции - student2.ru .

4. (аx)' = ax ln а; в частности, (еx)' = еx.

5.(sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = Понятие дифференциала функции - student2.ru .

8. (ctg x)' = - Понятие дифференциала функции - student2.ru .

9. (arcsin х)' = Понятие дифференциала функции - student2.ru .

10. (arccos x)' = - Понятие дифференциала функции - student2.ru .

11. (arctg x)' = Понятие дифференциала функции - student2.ru .

12. (arcctg x)' = - Понятие дифференциала функции - student2.ru .

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами диф­ференцирования (теорема 4.2) являются основными формула­ми дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция диф­ференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Наши рекомендации