Геометрический смысл производной и дифференциала

1. Геометрический смысл производной

А

Пусть y=f(x) определена в и дифференцируема в некоторой внутренней точке . Пусть M₀(x₀;y₀) - некоторая точка графика функции, а М(х;у)- некоторая другая точка. Прямая М₀М называется секущей кривой y=f(x). Если оставить точку М₀ неподвижной, а точку М перемещать по кривой в направлении к М₀, то секущая будет поворачиваться вокруг М₀. При М М₀ она будет стремиться к некоторому предельному положению М₀Т.

Определение.Касательной к кривой называется предельное положение секущей М₀М, когда М М₀ по кривой.

Dх=х-х₀ .

Пусть секущая р, проходящая через точки М₀(х₀;y₀) и М(х₀+Dх;у₀+Dy) образует с положительным направлением оси Ох угол . Из DМ₀АМ

, (1)

т.е. j=j(Dx). Если Dх 0, то М М₀ по графику функции, и Dy 0. Следовательно, секущая будет поворачиваться, и угол j будет изменяться. Так как arctgx - непрерывная функция то

.

То есть существует правой части (1). Значит, существует и левой части, т.е. существует , и имеет место равенство . Следовательно, существует предельное положение угла j, которое обозначим через j₀, т.е существует предельное положение М₀Т секущей М₀М при М М₀. Следовательно, М₀Т- касательная к графику у=f(x) в точке М₀ и

Û .

Геометрический смысл производной состоит в следующем: производная функции f(x) в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀;f(x₀)) (равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох)

Таким образом доказана

Теорема.Если функция f дифференцируема в точке х₀ (существует конечная производная ), то график этой функции имеет касательную, угловой коэффициент которой равен .

Замечание.1) Если =0, то касательная к кривой в точке х₀ параллельна оси Ох (tg =0 =0).

2) Если =¥ tg ₀=¥ , то касательная к графику перпендикулярна оси Ох (функция не дифференцируема в точке х₀, а касательная существует).

3) Может быть, что не существует , а касательная перпендикулярна оси Ох.

Пример. - не дифференцируема в точке х=0. Прямая х=0 (ось Оy) – касательная к графику в точке х₀=0.

2. Геометрический смысл дифференциала

Из рисунка: из DМ₀АВ .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y=f(x) в точке х₀- это приращение ординаты точки касательной к графику функции в точке M₀(x₀;y₀), соответствующее приращению аргумента Dх.

3. Уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x)

Известно, что всякая прямая не параллельная оси Оу, проходящая через точку M₀(x₀;y₀), имеет уравнение .

Пусть f(x) дифференцируема в точке х₀. Следовательно, график функции имеет в точке (x₀;y₀) касательную, угловой коэффициент которой . Тогда уравнение касательной имеет вид

.

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀) и перпендикулярная к касательной, называется нормалью к графику функции f в точке M₀(x₀;y₀). Т.к. коэффициенты перпендикулярных прямых k₁ и k₂, связаны соотношением , то , , и, значит, уравнение нормали имеет вид

.