Уравнения с разделяющимися переменными.

Рассмотрим два частных случая уравнения (14) наиболее часто встречающихся на практике.

Определение 9. Пусть в уравнении (14) функции M и N зависят только от одного аргумента, т.е. Уравнение вида

(25)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (14) является уравнением в полных дифференциалах. Действительно, т. е. Условие (19) выполнено. Согласно формуле (22), общий интеграл уравнения имеет вид

Определение 10 . Пусть в уравнении (14) функции M и N представлены в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, т.е. Уравнение вида

(26)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание: в формуле общего решения каждый интеграл зависит только от одного аргумента, т. е. переменные как бы разделены, отсюда и происходит название уравнений.

В общем случае уравнение (25) не является точным. Однако его можно свести к точному уравнению, если в качестве интегрирующего множителя взять

(27)

Действительно, при умножении уравнения (25) на интегрирующий множитель (27) получим

Последнее уравнение и будет уравнением с разделенными переменными.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Разделим переменные в этом уравнении, учитывая, что . Получим . Интегрируя это уравнение, получаем , откуда общий интеграл этого уравнения примет вид

или переобозначая , получим .

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните понятие общего решения.

2. Дайте постановку задачи Коши.

3. Вспомните, как решаются уравнения с разделяющимися переменными.

Заключение.

Рассмотрев основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений – понятие дифференциального уравнения, его частного решения, его общего решения (или интеграла), мы привели задачи физического характера. На простых примерах мы установили смысл задачи Коши, краевой задачи

Подводя итоги лекции, отметим следующее. Всегда при выводе дифференциального уравнения в физике или технике за основу берется некоторый физический закон, имеющий дифференциальный характер, то есть связывающий бесконечно-малые изменения рассматриваемых величин. Каждая задача требует индивидуального подхода, использования так называемого «здравого смысла», позволяющего учитывать одни бесконечно-малые изменения и отбрасывать другие. Вывод дифференциального уравнения, создание адекватной математической модели изучаемого явления или процесса в большой степени является искусством. Труды Ньютона, Максвелла, Эйнштейна и других великих ученых блестящие примеры достижений в этом искусстве. В математике, как правило, считается, что дифференциальное уравнение выведено, и необходимо лишь найти его решение. Техника отыскания решений простейших дифференциальных уравнений первого порядка будет рассмотрена и на следующей лекции.