Уравнения с разделяющимися переменными

Такие уравнения приводятся к виду

. (4)

Для нахождения решения уравнения с разделяющимися переменными представим его в виде и проинтегрируем: . Решение является частным решением уравнения (4) и должно включаться в множество его решений.

Однородные дифференциальные уравнения

Функция называется однородной степени , если для любого числа имеет место тождество . Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если функции и являются однородными одной степени. Однородное дифференциальное уравнение интегрируется заменой переменных .

Линейные дифференциальные уравнения

Такое уравнение может быть представлено в виде

. (5)

Его решение ищется в виде , тогда по формуле производной произведения . После подстановки выражения для и в (5) получим , откуда . Далее предполагается, что выражение в скобках принимает значение, равное нулю, и уравнение (5) сводится к паре дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными вида .

Уравнения в полных дифференциалах

Если для дифференциального уравнения вида найдется функция , дифференциал которой совпадает с левой частью уравнения, т.е. , то уравнение называют уравнением в полных дифференциалах. Тогда , , а решение уравнения в неявном виде определяется как . При этом должно выполняться условие , т.е. равенство смешанных производных второго порядка. Для определения вычисляют , откуда путем дифференцирования по определяют . Поскольку выражение в левой части есть , то . Интегрируя полученное равенство по получают , подстановка которого в дает решение исходного уравнения.

Дифференциальные уравнения старших порядков

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Общий вид ОДУ, разрешенного относительно старшей производной, имеет вид

. (6)

Его общее решение имеет вид и содержит 2 независимые произвольные постоянные и . В общем случае ОДУ II порядка не может быть решено в конечном виде.

1) ОДУ (6) не содержит аргумента x, т.е.имеет вид , или .

В этом случае интегрирование производится путем замены переменной . Тогда . При подстановке получаем:

а) уравнение принимает вид , т.е. сводится к ОДУ I порядка;

б) уравнение принимает вид или , т.е. представляет собой ОДУ I порядка с разделяющимися переменными;

в) уравнение принимает вид , откуда , т.е. также получается ОДУ I порядка с разделяющимися переменными.

2) ОДУ (6) не зависит от y, т.е. имеет вид . Тогда замена , приводит к виду , т.е. получается ОДУ I порядка.