Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

2.1.Уравнение вида

P(х)dx + Q( y) dy = 0

называется уравнением с разделенными переменными.

Важно: при dx стоит функция, зависящая только от х,

при dy – зависящая только от у. Общий интеграл такого уравнения

ò Р( х)dx + ò Q( y)dy = c .

2.2.Дифференциальное уравнение вида

у¢ =

f ( х, y)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция

f (х, y)

допускает представление в виде произведения двух функций,

каждая из которых зависит только от одной переменной, т. е.

у¢ =

f1(x) × f2 ( y) .

Для решения уравнения нужно разделить переменные следующим образом: сначала представить производную у¢ в ви- де отношения дифференциалов

dy

у¢ = =

dx

f1( x) × f2 ( y) ,

затем умножить обе части равенства на dx и разделить на В результате получим

f2 ( y) .

dy =

f2 ( у)

f1(x) × dx -

уравнение с разделенными переменными.

2.3.Уравнение вида

P(х, у)dx + Q(х, y) dy = 0

называется уравнением с разделяющимися переменными, если

обе функции -

P(х, у)

и Q(х, y) допускают такое же представ-

ление в виде произведения двух сомножителей, каждый из ко- торых зависит только от одной переменной:

Р1(x)P2 ( y)dx + Q1(x)Q2 ( y)dy = 0 .

Разделение переменных приводит к такому уравнению:

P1( x) dx + Q2 ( y) dy = 0 ,

Q1(x)

которое затем интегрируется.

P2 ( у)

Следует заметить, что в процессе разделения переменных

при делении обеих частей уравнения на выражение, содержа- щее неизвестные х и у, могут быть потеряны решения, обра- щающие это выражение в нуль.