Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Такое уравнение можно представить также в виде:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Перейдем к новым обозначениям Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Получаем: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

- это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - верно

Пример. Найти решение дифференциального уравнения Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru при условии у(2) = 1.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

при у(2) = 1 получаем Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Итого: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru или Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - частное решение;

Проверка: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , итого

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - верно.

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - общий интеграл

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - общее решение

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru при условии у(1) = 0.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Если у(1) = 0, то Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Итого, частный интеграл: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Для нахождения интеграла, стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.16. Получаем общий интеграл:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Преобразуем заданное уравнение:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ; Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ;

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Получаем частное решение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Однородные уравнения.

Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример. Является ли однородной функция Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Таким образом, функция f(x, y) является однородной 3- го порядка.

Определение. Дифференциальное уравнение вида Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru называется однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru . Получаем:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , т.е.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Далее заменяем y = ux, Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Введем вспомогательную функцию u.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Подставляем в исходное уравнение:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Разделяем переменные: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интегрируя, получаем: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнений, которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным.

Это уравнения вида Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Если определитель Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru то переменные могут быть разделены подстановкой

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

где a и b - решения системы уравнений Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Получаем Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Находим значение определителя Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Решаем систему уравнений Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Применяем подстановку Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru в исходное уравнение:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Заменяем переменную Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru при подстановке в выражение, записанное выше, имеем:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Разделяем переменные: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Итого, выражение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

В случае если в исходном уравнении вида Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru определитель Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru то переменные могут быть разделены подстановкой

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Пример. Решить уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Получаем Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Находим значение определителя Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Применяем подстановку Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Подставляем это выражение в исходное уравнение:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Разделяем переменные: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Линейные уравнения.

Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднороднымдифференциальным уравнением.

P(x) и Q(x)- функции непрерывные на некотором промежутке a < x < b.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Общее решение: Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)¹0) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

Метод Бернулли.

(Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский математик.)

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

При этом очевидно, что Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Далее следует важное замечание – т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru может быть представлена как Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Интегрируя, можем найти функцию v:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ; Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru ;

Т.е. была получена вторая составляющая произведения Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , которое и определяет искомую функцию.

Подставляя полученные значения, получаем:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Окончательно получаем формулу:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru , С2 - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Метод Лагранжа.

( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - французский математик, през. Берлинской АН,

поч. чл. Пет. АН (1776)).

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru .

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Уравнения с разделяющимися переменными - student2.ru

Наши рекомендации