Производные и дифференциалы высших порядкров
Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
При вычислении производных высших порядков используют те же правила, что и для вычисления у’.
Табл. Произ-х высшего порядка:
| f(x) | fn(x) |
| Xa Ex Ekx Akx Lnx Logax Sinkx Cos kx | A(a-1)*(a-2)*…*(а-n+1)*х a-n Ех Kn*ekx (K* Lna)n*akx (-1)n-1*(n-1)!/xn (-1)n-1*(n-1)!/(xn*lna) kn*sin(kx+n*π/2) kn*cos (kx+n*π/2) |
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:
d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка
d3y=d(d2y)…
dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка
Если ф-я y=f(v), где v – независимая переменная или линейная ф-я v=кх+в переменной х, то d2y=y’’(dv)2, d3y=y’’’(dv)3,…, dny=y(n)(dv)n.
Если же y=f(v), где v=g(x)≠кх+в, то d2y=f’’(v)*(dv)2+ f’(v)d2v и т.д. (т.е. св-во инвариантности не выполняется).
Формула Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен
T(x) = f(x0) + ( (f’(x0))/1! )(x – x0)1 + (f ”(x0))/2!(x – x0)2 +…+ (f (n)(x0))/n!(x – x0)n
Называется n-м многочленом Тейлора функции f(x) в точке x0.
Пусть функция f(x) имеет в ε – окрестности точки x0 (n + 1) производных. Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
F(x) = T(x) + ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – формула Тейлора,
где Т(x) – n-й многочлен Тейлора функции f(x) в точке х0,
rn(x) = ( f(n+1)(c) / (n + 1)!)(x – x0)n+1 – остаточный член в формуле Лагранжа.
Предположим, что (n+1)-я производная функция f(x) ограничена в окрестности точки х0. Тогда rn(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х-х0)n при х ® х0. (lim (rn(x)/(х-х0)n) = lim [((f(n+1)(c))/(n+1)!)(x-x0)] = 0 – в силу
Х®Хо Х®Хо
Ограниченности f(n+1) (c) в окрестности х0.) Следовательно ошибка в приближенном равенстве f(x) » Tn(x) (*) также является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – х0)n, когда х ® х0.
Формула (*) применяется для приближенных вычислений.
Используя равенство (*) можно подучить, например следующие формулы (при х®0):
1) (1+x)a » 1 + (a/1!)x + (a(a-1)/2!)x2 +…+ (a(a-1)…(a-n+1)/n!)xn,
2) ex » 1 + x/1! + x2/2! +…+ xn/n!,
3) ln(1+x) » x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…+(-1)n+1xn/n
4) sin x » x – x3/3! + x5/5! – x7/7! +…+(-1)kx2k+1/(2k+1)!,
5) cos x » 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +…+(-1)kx2k/(2k)!,
где в каждом случае ошибка является бесконечно малой относительно хn.
Условия монотонности функции.
Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на этом отрезке, то у=f(x)-const, тогда и только тогда, когда f¢(x)=0 при "х'[a,b]. Следствие у=f(x), y=g(x) непрерывна и диффиренцируема на (a,b) и f¢(x)=g¢(x), то f(x)=g(x)+C.
y=f(x) возрастает на Х, если для любых х1,х2'Х, таких что х1<x2Þ f(x1)<f(x2), убывает если x1<x2Þ f(x1)>f(x2).
Достаточное условие монотонности. Если функция непрерывна, дифференцируема на (a,b) и внутри (a,b) сохраняет знак, то функция у=f(x) монотонна.
Докажем для f¢(x)>0 Þ y=f(x) – возрастает на (a,b) (для убывающей функции доказательство аналогичное)
Доказательство.
Возьмём точки из отрезка (a,b) х1 и х2, такие что х1<х2. По теореме Лагранжа найдётся тоска с, приналежащая отрезку, для которой f(x2)-f(x1)= f¢(c)(x2-x1). Так как х1<c<x2, то точка с является внутренней точкой промежутка Х. Поэтому f¢(c)³0 и f(x2)³f(x1). Таким образом, мы доказали, что функция f(x) не убывает на промежутке Х.
Условия сущ. экстремула
Необходимое условие существования экстремума. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке х0 локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство f¢(x0)=0.
Доказательство.
Поскольку х0 – точка экстремума, то существует такой интервал (х0-e, х0+e), на котором f(x0) – наибольшее или наименьшее значение. Тогда по теореме Ферма f¢(x0)=0.
Точки, в которых производная функция обращается в нуль, называются стационарными.
Достаточное условие существование экстремума. Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 – точка локального максимума функции f(x), а если с минуса на плюс, то х0 – точка локального минимума.
Доказательство.(для максимума, для минимума – аналогично, то бишь самостоятельно)
Пусть f(x) – непрерывная дифференцируемая функция. f¢(x) меняет знак с «+» на «-». Пусть для любого хÎ (х0 -D, х0] f¢(x)>0 Þ по достаточному условию монотонности производная возрастает на данном интервале Þ f(x0)³f(x) "CÎ(x0-D, x0]
Пусть для "CÎ[х0,х0+D) f¢(x)<0, следовательно, функция убывает на хÎ[х0,х0+D) Þf(x0)³f(x) для любого хÎ[х0,х0+D).
Вывод: для любого х Î (х0-D, х0+D) х0 – точка максимума для функции у=f(x). Ч.т.д.