Радиус сходимости и круг сходимости

Степенным рядом называется ряд вида

an(z -z0)n, z C, z0 C,

(32.1)

числа a_n C, n = 1, 2, …, называются коэффициентами ряда (32.1).

С помощью замены переменного = z - z₀ ряд (32.1) может быть преобразован к виду

anz n.

(32.2)

Поэтому, как правило, мы ограничиваемся рассмотрением рядов вида (32.2).
Теорема 1 (первая теорема Абеля). Если степенной ряд (32.2) сходится при z = z₀, то при любом z таком, что |z| < |z₀|, ряд (32.2) сходится абсолютно.
Следствие. Если ряд (32.2) расходится в точке z₀, то в любой точке z такой, что |z| > |z₀|, он также расходится.

Если ряд

an

(32.3)

сходится, то a_n = 0, и потому существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 1, 2, … выполняется неравенство

|an | < c.

(32.4)

Следовательно, при z₀ 0 (в случае z₀ = 0 утверждение теоремы очевидно и бессодержательно, так как множество таких z, что |z| < 0, пусто) имеем

a_nzⁿ| = |aⁿ ||z|/|z₀|ⁿ c|z|/|z₀|ⁿ, и если |z| < |z₀|, то ряд |z|/|z₀|ⁿ сходится, ибо является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ее знаменатель |z|/|z₀|ⁿ = |z|/|z₀| < 1). Поэтому по признаку сравнения сходимости рядов из неравенства (32.5) следует, что сходится ряд |a_nzⁿ|, т. е. ряд (32.2) абсолютно сходится (рис. 127).
Следствие сразу вытекает из теоремы: если в точке z₀ ряд (32.2) расходится, то при |z| > |z₀| он не может сходиться в точке z, так как тогда бы он по доказанной теореме сходился (и даже абсолютно) в точке z₀.
Рассмотрим степенной ряд (32.2). Он заведомо сходится в точке z = 0. Обозначим через X множество всех таких действительных неотрицательных чисел x R, что при z = x ряд (32.2) сходится. Поскольку 0 X, то
X . Пусть

R = sup X.

(32.6)

Очевидно, 0 < R < + . Неравенство |z| < R задает на комплексной плоскости C замкнутый круг радиуса R с центром в точке z = 0. При R = 0 этот круг вырождается в точку z = 0, а приR = + превращается во всю комплексную плоскость.
Определение 1. Число R = sup X (конечное или бесконечное) называется радиусом сходимости ряда} (32.2), а круг {z: |z| < R} - его кругом сходимости.
Теорема 2. Пусть R - радиус сходимости ряда (32.2). Тогда если |z| < R, то ряд (32.2) сходится абсолютно, если |z| > R, то ряд (32.2) расходится, а если 0 < r < R, то в круге{z: |z| < r} ряд (32.2) сходится равномерно.
Если R = 0, то точек z C таких, что |z| < R нет. Если же 0 < R < + и z C таково, что |z| < R, то согласно определению верхней грани из равенства R = sup X следует, что существует такое x X, что |z| < x < R, а так как по определению множества X во всех его точках x ряд a_n xⁿ сходится, то по первой теореме Абеля он абсолютно сходится в точке z.

Рис. 128

Если R = + , то точек z C таких, что |z| > R, нет. Если же R < + и z C таково, что |z| > R, то для любой точки x такой, что R < x < |z|, согласно определению R = sup X имеем x X, а поэтому в силу определения множества X ряд a_n xⁿ расходится. Следовательно, в силу следствия из теоремы 1 ряд (32.2) расходится в рассматриваемой точке z.
Если теперь

0 < r < R,

(32.7)

то покажем, что ряд (32.2) сходится равномерно в круге |z| < r (рис. 128). Действительно, если |z| < r, то

|anzn| < |anrn|.

(32.8)

Из неравенства (32.7), согласно вышедоказанному свойству радиуса сходимости, вытекает, что ряд (32.2) при z = r абсолютно сходится, т. е. сходится ряд |a_nrⁿ, а тогда в силу признака равномерной сходимости Вейерштрасса (п. 31.2) из неравенства (32.8) следует, что ряд (32.2) равномерно сходится в круге {z: |z| < r}.
Рассмотрим степенной ряд общего вида a_n(z - z₀)ⁿ. Он сходится или расходится в точке z тогда и только тогда, когда соответственно сходится или расходится в точке = z - z₀ряд a_n . Радиус сходимости R последнего ряда называется и радиусом сходимости исходного ряда a_n (z - z₀)ⁿ
При замене переменного = z - z₀ кругу сходимости { : | | < R} ряда a_n соответствует круг {z: |z - z₀| < R}. Он называется кругом сходимости ряда a_n(z - z₀)ⁿ.
Из теоремы 2 следует, что если R является радиусом сходимости ряда a_n(z - z₀)ⁿ, то при |z - z₀| < R этот ряд абсолютно сходится, при |z - z₀| > R он расходится, а если 0 < r < R, то в круге{z: |z - z₀| < r} ряд равномерно сходится.
Отметим, что из равномерной сходимости ряда (32.1) в любом круге |z - z₀| < R, где 0 < r < R$, и непрерывности каждого члена этого ряда следует, что сумма каждого степенного ряда непрерывна внутри его круга сходимости R > 0.
Действительно, для любого z, |z| < R, можно выбрать такое R, что |z| < r < R. В круге |z| < r рассматриваемый ряд сходится равномерно, а так как его члены - непрерывные функции, то его сумма также непрерывна на этом круге, в частности в точке z (см. теорему 7 в п. 31.4).
Примеры.
1. Рассмотрим ряд

n!zn.

32.9

Для исследования его абсолютной сходимости применим признак Даламбера (п. 30.4):

Следовательно, ряд (32.9) сходится только при z = 0, а потому его радиус сходимости равен нулю: R = 0.
2. Радиус сходимости R ряда

zn/n!

(32.10)

равен + , так как в п. 31.1 было показано, что этот ряд сходится при любом z C.
3. Радиус сходимости суммы бесконечной геометрической прогрессии

zn

(32.11)

равен 1, так как ряд (32.11) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1 (п. 30.1, 30.2). На границе {z: |z| = 1} круга сходимости имеем |z| = 1 и, следовательно, последовательность членов ряда (32.11) не стремится к нулю, откуда явствует, что во всех точках границы своего круга сходимости ряд (32.11) расходится.
4. У ряда

zn/n2

(32.12)

радиус сходимости также равен 1. Действительно, при |z| < 1 выполняется неравенство

|zn/n2| < 1/n2

(32.13)

и, следовательно, согласно признаку равномерной сходимости Вейерштрасса, ряд (32.12) равномерно, а следовательно, и просто сходится. При |z| > 1 имеем |zⁿ|/n² = + , т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 1 из п. 30.2), и, таким образом, ряд (32.12) при |z| > 1 расходится.
Отметим, что во всех точках границы круга сходимости, т. е. при |z| = 1, в силу того же неравенства (32.13) ряд (32.12) сходится.
5. Радиус сходимости R ряда

zn/n

(32.14)

можно найти, применив признак Даламбера: имеем

Поэтому ряд (32.14) сходится при |z| < 1 и расходится при |z| > 1. Таким образом, R = 1.
В точке z = 1 границы круга сходимости ряд (32.14) превращается в гармонический ряд и, следовательно, расходится, а при z = -1 получается сходящийся ряд (-1)ⁿ/n. Итак, у ряда (32.14) на границе круга сходимости имеются как точки, в которых он сходится, так и точки, в которых он расходится. Разобранные примеры показывают, что существуют степенные ряды, у которых радиус сходимости равен нулю (ряд (32.9)), равен конечному положительному числу (ряд (32.11)) и равен бесконечности (ряд (32.10)). На границе круга сходимости ряд может во всех точках сходиться (ряд (32.12)), а может и сходиться в одних точках и расходиться в других (ряд (32.14)) или расходиться во всех точках (ряд (32.11)).
Функции, раскладывающиеся в степенные ряды, называются аналитическими. Точнее, имеет место следующее
Определение 2. Функция f называется аналитической в точке z₀, если в некоторой окрестности (см. п. 5.11) этой точки функция f раскладывается в степенной ряд:

f(z) = a_n(z - z₀)ⁿ.

Поскольку в силу определения окрестности точки все точки, достаточно близкие к данной точке, принадлежат ее окрестности, то радиус сходимости написанного ряда положителен.
Теорема 3* (вторая теорема Абеля). Если R - радиус сходимости степенного ряда (32.2), R < + , и этот ряд сходится при z = R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R]действительной оси.
Следствие. Если ряд (32.2) сходится при z = R, то его сумма непрерывна на отрезке [0,R] действительной оси.
Доказательство теоремы. Имеем

anxn= \ anRn(x/R)n,

(32.15)

причем, по условию теоремы ряд a_nRⁿ сходится. Поскольку этот ряд числовой, то его сходимость можно рассматривать как равномерную сходимость на отрезке [0,R]. Последовательность

(x/R)ⁿ, n = 1, 2, ...,

ограничена на отрезке [0,R], ибо если 0 < x < R, то

0 < (x/R)ⁿ < 1,

и монотонна при любом x [0,R]. Следовательно, в силу признака равномерной сходимости Абеля (п. 31.3*) ряд (32.2) равномерно сходится на отрезке [0,R].
Утверждение следствия вытекает из непрерывности каждого члена ряда (32.2) на отрезке [0,R] и доказанной равномерной сходимости этого ряда на указанном отрезке. Докажем еще одну лемму для степенных рядов в комплексной области, которая будет использована в следующем параграфе.
Лемма 1. Радиусы сходимости R, R₁ и R₂ соответственно рядов

anzn,	(32.16)
zn+1,	(32.17)
nanzn-1	(32.18)

равны:

R = R1 = R2.

(32.19)

Таким образом, ряды (32.17) и (32.18), получающиеся из (32.16) соответственно с помощью "формального интегрирования и дифференцирования", имеют те же радиусы сходимости, что и исходный ряд. Интегрирование и дифференцирование названо здесь формальным, поскольку для функций комплексного аргумента эти операции у нас не были определены и они были произведены так, как если бы a_n и z были действительными числами.
Из неравенства

zⁿ+1 = |z||a_nzⁿ| < |z||a_nzⁿ|

следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.16), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.17), а это означает, что радиус сходимости R₁ ряда (32.17) не меньше радиуса сходимости R ряда (32.16): R₁ > R. Из неравенства же

|a_nzⁿ| < n|a_nzⁿ| = |na_nzⁿ-1||z|

следует, что если в точке z абсолютно сходится ряд (32.18), то в этой точке абсолютно сходится и ряд (32.16), т. е. R > R₂.
Таким образом,

R1 > R > R2.

(32.20)

Покажем теперь, что

R2 > R1.

(32.21)

Возьмем какую-либо точку z 0 внутри круга сходимости ряда (32.17) и докажем, что в ней сходится ряд (32.18). Поскольку |z| < R₁, то существует такое действительное число R, что

|z| < r < R1.

(32.22)

Запишем абсолютную величину члена ряда (32.18) следующим образом:

|nanzn-1| = rn+1 .

(32.23)

Положим q = |z/r|. В силу условия (32.22) 0 < q < 1. Ряд

= qⁿ+1

сходится (в этом легко убедиться, например, с помощью признака Даламбера). Поэтому последовательность его членов стремится к нулю и, следовательно, ограничена, т. е. существует такая постоянная c > 0, что для всех n = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство

qn+1 < c.

(32.24)

Из (32.23) и (32.24) следует неравенство

|na_nzⁿ-1|< c rⁿ⁺¹ .

Поскольку r R₁, то ряд rⁿ⁺¹ абсолютно сходится, т. е. сходится ряд rⁿ⁺¹ , а поэтому по признаку сравнения сходится и ряд na_nzⁿ-1. Итак, из условия |z| < R₁, следует абсолютная сходимость ряда (32.18). Это и означает выполнение неравенства (32.21). Из неравенств (32.20) и (32.21) следует, что имеет место равенство (32.19).