Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда

Рассмотрим ряд, членами которого являются степенные функции от аргумента x:

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru

Такой ряд называется степенным. В этом ряде действительные числа Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ruназываются коэффициентами степенного ряда, величина x0 –произвольно заданное действительное число, одно и то же для всех членов ряда, x - аргумент нашего функционального ряда. Величины Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru и x0 полностью задают степенной ряд. ьКраткая запись ряда: Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . В случае x0 = 0 имеем ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Заметим, что при помощи преобразования x-x0 = y можно свести задачу изучения ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru к изучению более простого ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru (в дальнейшем вместо y пишем x).

Для степенного ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru имеет место теорема Абеля:

Если степенной ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru сходится в некоторой точке x0, отличной от нуля (x0 ¹ 0), то он сходится, причем абсолютно, и в любой точке x, удовлетворяющей условию Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Докажем это.

Так как ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru сходится, то его общий член Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru стремится к нулю при стремлении номера n к бесконечности. Следовательно, члены этого ряда ограничены как члены сходящейся (к нулю) последовательности Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Это означает, что существует такое положительное число M >0, что для всех номеров n выполняются неравенства: Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда берем произвольное x ( Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru )ирассмотрим ряд: Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru = = Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Оценим абсолютную сходимость этого ряда : Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru - сходится, ибо это геометрическая прогрессия со знаменателем Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru .

Следствие. Если ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru расходится при x0, то он расходится и при любом x, Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru .

Область сходимости степенного ряда .

Из теоремы Абеля и следствия из нее вытекает, что если степенной ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru имеет отличные от нуля точки сходимости x0 и точки расходимости x1, то всякая точка сходимости лежит к началу координат не дальше, чем точка расходимости. При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Этот промежуток можно характеризовать числом R таким, что в точках x, Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд сходится (причем абсолютно), а в точках x , Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru - ряд расходится. В точках x=-R и x=R ряд может как сходиться, так и расходиться. Существование R можно объяснить так:

в точке x*, лежащей между x0 и x1, будет либо сходимость, либо расходимость; так и перебираем точки отрезка [x0,x1], пока не исчерпаем весь этот отрезок.

Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru , если для всякого Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд сходится, а для всякого Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд расходится. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости, начало координат – центр интервала сходимости.

Разъяснение:

Для ряда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru центром интервала сходимости будет точка x0 . Число R будет радиусом сходимости, если для Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд сходится, а для Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд расходится. Интервал сходимости этого ряда: -R+x0 < x <R+x0 . На концах интервала сходимости x=-R+x0 и x= R+x0 ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Для отыскания радиуса сходимости , характеризующего область сходимости степенного ряда, можно поступать с рядом, как с числовым – применять к нему признаки Даламбера, Коши и другие.

Пусть, например, существует предел Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда находим Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ; Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ; Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Если q=0, то вся действительная ось x является областью сходимости. Если q= ¥, то ряд сходится только в точке x=0, а на всей оси x он расходится. Если же Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru не существует (но, допустим, существует самая правая предельная точка (точка сгущения) числовой последовательности Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru , то обозначив эту правую точку через Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru находим, что заведомо ряд будет сходиться, если Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru , т.е. если Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru

Аналогично поступаем при применении признака Даламбера. Пусть существует Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru Сходимость ряда на концах x=-R и x=R исследуется отдельно.

45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:

1. Степенной ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru равномерно (правильно) сходится на любом замкнутом интервале [-b, b], находящемся внутри интервала сходимости (-R, R). Действительно, берем любое x0, лежащее между b и R: Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда для любого Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru мажорируется числовым рядом Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru , который сходится. Следовательно, и наш степенной ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

2. Степенной ряд, составленный из производных Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Это свойство легко доказывается в случае существования предела Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru . Тогда Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru что и требовалось.

Отсюда в частности следует, что все степенные ряды, получаемые почленным дифференцированием исходного ряда, имеют один и тот же радиус сходимости. Все эти ряды будут сходиться правильно на замкнутом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

3. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке x0 интервала (-R, R) (ибо он сходится равномерно на отрезке [-x0, x0]). Рассмотрим пример ряда: Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru =S(x). Функция S(x) разрывна только при x=1, но вне интервала сходимости Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru она не является суммой ряда.

4. Степенные ряды можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R, R). Пусть a и b – точки, лежащие внутри (-R, R). Тогда будем иметь:

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru

5. Степенные ряды можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, причем будем иметь:

Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда и ее основные характеристики: центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда - student2.ru

Наши рекомендации