Радиус и область сходимости степенного ряда

Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число R, при котором ряд сходится, если , и расходится, если .

Для нахождения радиуса сходимости R составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим признак Даламбера. Найдем

.

В соответствии с признаком Даламбера ряд сходится, если этот предел меньше единицы, т. е.

,

и расходится, если .

Отсюда следует, что радиус сходимости равен

.

При использовании данной формулы необходимо не забывать, что в этой формуле и коэффициенты в членах степенного ряда при х в степени n и n+1, а не члены ряда.

С помощью радиуса сходимости можно найти интервал сходимости ряда. При степенной ряд сходится. Для того чтобы найти область сходимости, необходимо дополнительно исследовать сходимость ряда в граничных точках интервала сходимости .

Пример 9.1.Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

.

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся, его члены монотонно убывают и стремятся к нулю. По теореме Лейбница он сходится (см. пример 8.15).

При ряд является гармоническим. Как известно он расходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.2.Найти область сходимости ряда .

Находим радиус сходимости

.

Интервал сходимости .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Его сходимость исследуем по интегральному признаку Коши. Находим

.

Интеграл сходится и ряд сходится.

Следовательно, область сходимости ряда .

Пример 9.3.Найти область сходимости ряда .

Введем новую переменную , ряд примет вид .

Найдем радиус сходимости этого ряда.

.

Интервал сходимости ряда .

Исследуем сходимость ряда в граничных точках.

При ряд имеет вид является знакочередующимся.

Члены ряда монотонно убывают

и стремятся к нулю . По теореме Лейбница ряд сходится.

При ряд имеет вид . Ряд расходится, так как степень n в знаменателе (см. пример 8.12).

Область сходимости ряда . Переходим к исходной переменной:

Область сходимости исходного ряда .

В отдельных случаях степенные ряды могут содержать только четные степени переменной или нечетные степени . Для нахождения радиуса сходимости ряда в таком случае составляется ряд из абсолютных величин этого ряда, а затем применяется признак Даламбера.

Для ряда с четными степенями составляем ряд и применяем признак Даламбера .

Ряд сходится, если , т. е. и расходится, если . Следовательно, можно определить квадрат радиуса сходимости такого ряда по формуле

.

Для ряда с нечетными степенями составляем ряд , применяем признак Даламбера .

Ряд сходится, если Û и расходится, если

. Следовательно, в случае ряда с нечетными степенями справедлива та же формула для квадрата радиуса сходимости.

Пример 9.4.Найти область сходимости ряда .

Находим .

Радиус сходимости . Интервал сходимости ряда .

При ряд расходится (гармонический).

При ряд расходится.

Область сходимости ряда .

Ряды Тейлора и Маклорена

Функция разлагается в степенной ряд в области G, если он составлен для этой функции и сходится к ней.

Пусть степенной ряд

Равномерно сходится к функции , т. е.

Тогда его можно почленно дифференцировать.

Найдем производные этого ряда.

;

;

;

………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………

Подставим значение в эти соотношения

,получим формулы для нахождения коэффициентов

Следовательно,

Данный ряд называется рядом Тейлора.

При данный ряд имеет вид

и называется рядом Маклорена.

Разложения функций по данным формулам справедливы только в области сходимости этих рядов.

Ранее были получены формулы Тейлора и Маклорена (Математический анализ. Часть 1. Дифференциальное исчисление).

В формуле Тейлора

остаточный член можно рассматривать как остаточный член ряда Тейлора. В форме Лагранжа он имеет вид

,

где или .

Также для ряда Маклорена

остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

.

Теорема 9.2. Для того чтобы степенной ряд сходился к функции , для которой он составлен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к нулю при неограниченном увеличении его номера n, т. е. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть ряд сходится к функции , т. е.

.

Так как , то

.

Достаточность. Пусть .

Тогда

,

т. е. ряд сходится.