Ряды с комплексными членами. (cо слов Гончаренко)

Комплексное число представляется в виде a+b_*i, где а – действительная часть числа, i – мнимая единица (поясняю: мнимая единица – единица, квадрат которой равен «-1»).

Если суммы действительных(Sа_n) и мнимых (Sb_ni) частей комплексных чисел сходятся, то сходится и весь ряд комплексных чисел. (аналогичны и остальные определения.)

7. Свойства правильно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное дифференцирование и интегрирование. (!!предполагается равномерно сход=правильно сход).

Функция S(x) ,хÎW является суммой ряда, если S(x) =lim _n→∞ S(x) , где S(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)

Если S(x) , хÎL (LÍΩ) является суммой ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…=_n=1∑ ^∞ fn(x) (функциональный ряд), то говорят, что рядсходится на множестве L функции S(x).

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве L к функции S(x) , если для любого числа e>0 существует номер N такой, что при n³N cразу для всех хÎL выполняется неравенство ½S(x) -Sn (x)½<e

Если функциональный ряд сходится на множестве L , то на этом множестве сходимость не обязана быть равномерной, однако на некотором подмножестве

множества L сходимость может оказаться уже равномерной.

Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Если члены функционального ряда f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… удовлетворяют на множестве L неравенством ½ fn(x)½≤Сn (n=1,2…) , где Сn – члены сходящегося числовогоряда С1+С2+…+ Сn+… то функциональный ряд сходится на множестве L равномерно.

Свойства:

Если функции fn(x) непрерывны на [a,b], составленный из них ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+…, то

1.Функция f(x) на [a,b] непрерывна

2. _a∫ ^bf(x)dx=. _a∫ ^b f₁(x)dx+…+. _a∫ ^b fn(x) dx+…

Если fn(x) имеют непрерывную производную на [a,b] и на этом отрезке

а)ряд f₁(x)+f₂(x)+…+fn(x)+… сходится к f(x)

б)ряд f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+… сходится равномерно, то f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную f ' (x)= f₁'(x)+f₂'(x)+…+fn'(x)+…

Степенные ряды.

Опр. Выражение вида а0+а1х+а2х²+…+а_кх^к+… , (*)

где а0, а1,а2,… - некоторая числовая последовательность наз степенным рядом.

а0,а1,а2,…- коэффициенты степенного ряда.

Если х придавать числовые значения, то будем получать числ. Ряды, которые могут сходиться и расходиться. Множество Х, при которых ряд (*) сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля.

1)Если ряд (*) сходится в некоторой точке х0≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.

2)Если ряд (*) расходится в т. х1≠0, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х1|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а0+а1х₀+а2х₀²+…+а_кх₀^к+…(**) сходится, поэтому а_кх₀^к →0, при к→∞. Значит, сходящаяся последовательность {а_кх₀^к}

ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |а_кх₀^к|<M для всех к=0,1,2…

Рассмотрим |а0|+|а1х₀|+|а2х₀²|+…+|а_кх₀^к|+….(***)

Пусть |х|<|х0|, тогда |а_кх^к|=|а_кх0^к||х/х0|<М|х/х0|^к, причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х0|+М|х/х0|²+…+М|х/х0|^к+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (***) сходится, а ряд (**) сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(**) расходится при х=х1, но для некоторого х:| х |>х1 По первой части теоремы ряд (**) сходится абсолютно при х=х1, следовательно получили противоречие.