Раздел 1. Линейная и векторная алгебра. I. Задания для самостоятельной работы
I. Задания для самостоятельной работы
1. Изучить теоретический материал по теме «матрицы и определители»:
1.1. Матрицы, действия с ними.
1.2. Понятие обратной матрицы.
1.3. Матричная запись системы линейных уравнений.
1.4. Определители второго и третьего порядков, их свойства.
1.5. Алгебраические дополнения и миноры.
1.6. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).
1.7. Свойства определителей.
1.8. Вычисление обратной матрицы.
2. Изучить теоретический материал по теме «системы линейных алгебраических уравнений:
2.1. Системы трех линейных уравнений.
2.2. Правило Крамера.
2.3. Система n линейных уравнений с n неизвестными.
2.4. Метод Гаусса.
2.5. Метод обратной матрицы.
3. Изучить теоретический материал по теме «Пространство Rn»
3.1. Пространство Rn.
3.2. Линейные операции над векторами.
3.3. Норма в Rn.
3.4. Скалярное произведение в Rn.
3.5. Линейно зависимая и линейно независимая система векторов.
3.6. Условие компланарности трёх векторов в R3.
3.7. Угол между векторами
3.8. Базис.
4. Выполнить задания:
Задача 1
Даны матрицы 
, 
, 
.
1. Вычислить матрицу 4A+5C+7 
.
2. Выполняется ли равенство AC=CA?
3. Вычислить определители 
, 
, 
и проверить равенство: = = 
.
4. Используя свойства определителей, вычислить определитель
Задача 2
1. Решить систему AX=B матричным методом.
2. Решить системы уравнений по формулам Крамера:
, 
, 
.
3. Решить систему уравнений методом Гаусса: 
.
Задача 3.Даны векторы 
, 
= 
. Вычислить и изобразить в системе координат следующие линейные комбинации векторов 
и :
, 
, 
Задача 4
Найти линейную комбинацию векторов 
, = 
, 
с коэффициентами 
.
Задача 5
Будут ли векторы линейно зависимы или линейно независимы в случаях:
а) = 
= 
; б) = 
= 
; в) = = , 
?
Задача 6
Даны три вектора 
= 
= 
, 
. Доказать, что система 
образует базис в 
. Найти разложение вектора 
по этому базису.
Задача 7.Даны два вектора = 
и = 
. Найти 
угол 
между векторами и 
, а также 
.
Задача 8.При каком значении 
вектор = 
ортогонален вектору = 
?
При каких значениях x и y векторы 
и 
параллельны?
Задача 9
Вычислить площадь и высоту треугольника с вершинами A(7;3;4), B(1;0;6) и C(4;5;7).
Задача 10
Вершины треугольной пирамиды находятся в точках 
, 
, 
и 
. Вычислить: а) объем пирамиды; б) высоту, опущенную из вершины 
Задача 11
Выяснить, лежат ли точки D(1;0;1), E(0;1;–3)в плоскости ABC, где A(5;–3;0), B(–4;3;3), C(–4;2;4).
II. Контрольные вопросы для самопроверки
1. Что называют матрицей?
2. Как определяются сумма матриц, умножение матрицы на действительное число?
3. Какие матрицы можно перемножать и каким образом?
4. Что такое невырожденная матрица?
5. Как вычислить определитель второго, третьего порядков?
6. Как найти обратную матрицу для данной вырожденной квадратной матрицы?
7. Что такое ранг матрицы?
8. В чем заключается правило Крамера для решения линейных систем?
9. Как с помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений?
10. Для решения каких систем применим метод обратной матрицы?
11. Для решения каких систем применяют метод Гаусса?
12. Что такое прямой и обратный ход метода Гаусса?
13. Как определяется скалярное произведение в пространстве Rn?
14. Как определяется норма в Rn?
15. Какие векторы называются линейно зависимыми?
16. Какие векторы в Rn образуют базис?
17. В чем состоит критерий базисности?
18. Как определить угол между векторами в Rn?