Замена переменной в определенном интеграле
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2
Рассмотрим , где f (x) непрерывна на [a, b]. Введем новую переменную интегрирования t, связанную с переменной x соотношением x=φ(t), где , а .
Функция φ (t) должна быть непрерывно-дифференцируемой. Кроме того, φ(α)=a, φ(β)=b, тогда имеет место формула
.
Следует отметить, что при вычислении определенного интеграла уже нет необходимости возвращаться к старой переменной интегрирования, т.к. пределы интегрирования изменились в соответствии с подстановкой.
Примеры. Вычислить интегралы 1) ; 2) .
Решение.
1. Введем новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим: , . Вычислим новые пределы интегрирования: при имеем , при получаем . Следовательно,
.
2. Положим , тогда . Находим новые пределы интегрирования: при получаем , , . При получаем , , .
Интегрирование по частям
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.2
Если функции u(x) и v(x) непрерывно-дифференцируемы на [a, b], то имеет место формула интегрирования по частям:
.
Примеры. Вычислить интегралы: 1) ;
2) .
Решение.
1)
2)
Отметим очень важные для дальнейшего утверждения:
1) если функция f (x) четная, то ;
2) если функция f (x) нечетная, то ;
3) если f (x) периодическая с периодом T, то .
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
Литература: [5], Ч.2, гл. 10, § 10.3
Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если f (x) ≥ 0 для всех , то площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y = f (x), прямыми x=a, x=b и осью Ox, выражается формулой (рис. 3.2, а).
Если же f (x) ≤ 0 для всех , то и, следовательно, в этом случае (рис. 3.2, б).
| x |
| b |
| a |
| y |
| О |
| y=f(x) |
| + |
| x |
| b |
| a |
| y |
| О |
| y=f(x) |
| - |
| а |
| б |
Рис. 3.2
| a |
| О |
| x |
| b |
| y |
| y=f2(x) |
| y=f1(x) |
| Рис. 3.3 |
Если фигура ограничена графиками функций y = f1(x) и y = f2(x) таких, что f1(x) ≥ f2(x) для всех (рис. 3.3), то .
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x и y=2−x2.
Решение. Найдем точки пересечения и построим заданные линии.
| –2 |
| у=х |
| у=2–х2 |
| –2 |
| х |
| у |
, т.е. a=–2, b=1.
Тогда
.
Замечание. Часто бывает удобным использовать для вычисления площадей фигур формулы, в которых интегрирование ведется по переменной y, при этом x считается функцией от y, т.е.
и .
Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y2=2x+1 и y=x−1.
| y |
| -1 |
| y2=2x+1 |
| y=x−1 |
| x |
| -1 |
Площадь фигуры равна:
Если кривая, ограничивающая сверху криволинейную трапецию, задана в параметрическом виде , где , то
.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом , , где 0 ≤ t ≤ 2π.
| S1 |
| b |
| а |
| х |
| –а |
| –b |
| у |
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусами и ( ), вычисляется по формуле .
| x |
| y |
| 2a |
| S1 |
Решение.