Теорема о замене переменной в определённом интеграле

Тема. Вычисление первообразных. Метод замены переменной в подынтегральном выражении.

Занятие 5.

Замечание.Символом мы обозначаем производную функцию в точке .

Как мы уже знаем из предыдущей лекции операция перехода от функции к её первообразной называется неопределённым интегрированием и записывается формулой

(3.1)

При вычислении интеграла используются свойства:

1) . (3.2)

2) инвариантности интегрирования:

Если , то ,где любая дифференцируемая переменная, а также правила интегрирования:

Для проверки правильности полученного результата используют свойство

(3.3)

Пример 1.Проверить правильность формул

; ;

Решение. Используем свойство (3.3)

Свойства показывают нам, что операции дифференцирования и неопределённого интегрирования являются взаимно обратными с точностью до произвольной постоянной.

Практически любой метод неопределённого интегрирования заключается в следующем. Используя свойства и правила интегрирования, мы преобразуем интеграл к известному табличному интегралу.

Существует три основных метода интегрирования

Метод замены переменной интегрирования в неопределённом интеграле

Теорема о замене переменной в определённом интеграле.

Пусть дифференцируемая функция такая, что функцию можно записать в виде . Тогда, если функция будет первообразной для функции

,(то есть ),

то (3.4)

Доказательство. Справедливость теоремы проверяем с помощью формулы (3.3).

Теорема доказана.

Оформим результат теоремы в виде таблицы. Эта таблица получена из таблицы (1.6) заменой переменной на новую переменную . (Проверьте этот факт!).

Перейдём к практическому вычислению неопределённых интегралов, решаемых методом замены переменной.

Пример 1. Найти неопределённые интегралы

Решение. 1) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 1).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

2) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 5).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

3) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 7).Преобразуем подынтегральное выражение Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ж

4) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 6).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

5) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 4).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

Пример 2. Вычислить неопределённые интегралы

Решение. 1) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 1).Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

2) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 2). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ.

3) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 4). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ;

4) Ищем в таблице интегралов интеграл аналогичный данному интегралу. Выбираем 8). Преобразуем подынтегральное выражение

Подставляем полученное выражение в интеграл

Ответ. ;

Самостоятельная работа

Упражнение 3.1.Найти первообразные функции для данных функций

;

Упражнение 3.2.Вычислить неопределённые интегралы

Ответы.

Упражнение 3.2.