Методы замены переменной в определенном интеграле

а) Необходимо вычислить интеграл ,

где f(x) непрерывная функция на [a,b].

Перейдем к новой переменной t, полагая . Пусть , кроме того, при изменении t от a до b значения функции не выходят за пределы сегмента [a,b]. Предположим, что функция непрерывно дифференцируема на промежутке [a,b], то справедлива следующая формула замены переменной

.

Пример 35. Вычислить

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат

.

Введем новую переменную: тогда ,

или

Найдем пределы интегрирования новой переменной t:

если , то

если , то .

Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле, получим

Заметим, что в данном случае при применении формулы замены переменной отпадает необходимость возвращения к старой переменной х по сравнению с неопределенным интегралом. Это вполне объяснимо, ибо определенный интеграл есть некоторое постоянное число, в то время как неопределенный интеграл от той же самой функции есть некоторая функция.

б) Часто вместо замены переменной употребляют обратную замену переменной . На конкретном примере покажем, как это делается.

Покажем это на конкретном примере.

Пример 36. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда

Если то если , то

Следовательно,

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть и - непрерывные функции вместе со своими первыми производными на [a,b], тогда справедлива формула интегрирования по частям:

Пример 37. Вычислить интеграл .

Решение. Применим полученную формулу

Подробнее о методах интегрирования в определенном интеграле см.[1] с.399-403.

Несобственные интегралы

Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении, что промежуток интегрирования [a,b] конечен и функция f(x) непрерывна на нем.

Иногда приходится отказываться от одного или обоих этих предположений. В этом случае мы приходим к понятию несобственного интеграла.

Несобственные интегралы с бесконечными

Пределами интегрирования

Рассмотрим функцию , непрерывную на бесконечном промежутке .

Несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку называется :

.

Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Если на и , то данный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямой и бесконечным интервалом .

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

а на интервале определяется формулой

где с - любое действительное число.

Если сравнить две криволинейные трапеции на рис.3.1, то конечность или бесконечность их соответствующих несобственных интегралов зависит от скорости убывания функции и при .

Так, например, сходится при и расходится при .

В этом легко убедится, вычислив , если .

Если , то при , поэтому - расходится, следовательно, и площадь соответствующей криволинейной трапеции бесконечна.

- несобственный интеграл сходящийся, следовательно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями и бесконечным промежутком , является конечной и равна 1.

Пример 38. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования и далее - формулой интегрирования по частям

.

Несобственный интеграл сходится.

Пример 39. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. Полагаем .

Признак сравнения. Пусть в промежутке функции f(x) и g(x) непрерывны и . Если сходится, то сходится и интеграл . Если интеграл расходится, то и также расходится.

Замечание. Аналогичное утверждение верно для несобственных интегралов и по другим бесконечным пределам интегрирования.

Пример 40. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Проведем сравнительный анализ подынтегральной функции при .

.

Но сходится, т.к. (см. рассуждения выше). Следовательно, по признаку сравнения сходится и данный интеграл.