Выпуклость и вогнутость кривой. Точки её перегиба. Достаточные признаки выпуклости, вогнутости и точек перегиба кривой

Кривая называется выпуклой в интервале если она лежит ниже любой своей касательной в точках, абсциссы которых лежат в этом интервале (см. рис. 68).

Кривая называется вогнутой в интервале если она лежит выше любой своей касательной в точках, абсциссы которых лежат в этом интервале(см. рис. 69).

Точка кривой, отделяющая выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Ясно, что касательная к кривой в точке перегиба пересекает кривую, т. к. выпуклая часть лежит ниже касательной, а вогнутая – выше касательной (см. рис. 70).

Здесь и далее будем считать, что функция дважды дифференцируема всюду в области определения.

Известно, что вычисленная в точке производная равна тангенсу угла образованного с осью касательной к кривой в её точке с абсциссой Для выпуклой кривой (см. рис. 68) с увеличением угол убывает, следовательно, убывает значит, производная согласно необходимому признаку убывания функции. Аналогично убедимся в том, что если кривая вогнутая, то Итак, пришли к теореме.

Теорема 6 (необходимые признаки выпуклости и вогнутости кривой). Если кривая является выпуклой на то в этом интервале ; если кривая является вогнутой на то в этом интервале

Теорема 7 (достаточные признаки выпуклости и вогнутости кривой). Если всюду в интервале то в этом интервале кривая выпуклая. Если всюду в интервале то в этом интервале кривая вогнутая.

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть всюду в интервале Тогда, согласно достаточному признаку убывания функции, в этом интервале убывает с увеличением Значит, убывает всюду в интервале Следовательно, кривая является выпуклой, что очевидно геометрически. Теорема доказана.

Теорема 8 (необходимый признак точки перегиба). Если – абсцисса точки перегиба кривой то или не существует.

Доказательство.Точка перегиба отделяет выпуклую часть от вогнутой, следовательно, она одновременно принадлежит обеим указанным частям кривой. Будем считать, что вторая производная существует и непрерывна в точке . Для выпуклой части кривой согласно необходимому признаку выпуклости кривой, поэтому Для вогнутой части кривой согласно необходимому признаку вогнутости кривой, поэтому Но эти два соотношения должны выполняться одновременно, следовательно, Теорема доказана.

Абсциссой точки перегиба может служить и значение при котором не существует. Покажем это на примере кривой Здесь Отметим, что при вторая производная не существует, т. е. не существует . Кроме того, видим, что при , а при имеем Значит, по теореме 7 при кривая вогнутая, при - выпуклая. Это означает, что есть абсцисса точки перегиба рассматриваемой кривой. Это также очевидно из графика функции (см. рис. 71).

Теорема 9 (достаточный признак точки перегиба). Точка кривой является точкой перегиба, если обращается в нуль или не существует при и знак второй производной изменяется при переходе через (с увеличением ). При перемене знака с «‑» на «+» участок выпуклости сменяется участком вогнутости, а при перемене с «+» на «‑» участок вогнутости сменяется участком выпуклости.

Доказательство.Пусть знак изменяется с «‑» на «+» при переходе через с увеличением т. е. при имеем а при получим Тогда, согласно достаточному признаку выпуклости и вогнутости кривой, слева от лежит участок выпуклости кривой, а справа от – участок вогнутости. Следовательно, – абсцисса точки перегиба кривой Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Для нахождения точек перегиба кривой требуется:

1)найти точки, в которых обращается в нуль или не существует;

2)каждую такую точку исследовать с помощью достаточного признака точки перегиба;

3)найти ординаты точек перегиба, подставив их абсциссы в выражение вместо

Асимптоты кривой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки этой кривой до прямой стремится к нулю, когда указанная точка неограниченно удаляется от начала координат. Рассмотрим два вида асимптот.

Вертикальные асимптоты.Дана кривая с уравнением Если – заданное число, то кривая имеет вертикальную асимптоту с уравнением Здесь график функции будет иметь вид, указанный, например, на рис. 73.

На кривой возьмём точку с абсциссой и ординатой Пусть точка – основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Тогда расстоя-ние от точки до прямой с уравне-нием равно

По условию при когда стремится к нулю, имеем а точка кривой неограниченно удаляется от начал координат. Иначе говоря, когда точка неограниченно удаляется от начала координат, расстояние стремится к нулю. Это значит, что прямая с уравнением есть асимптота линии

Наклонные асимптоты.Пусть кривая имеет наклонную асимптоту с уравнением где – угловой коэффициент асимптоты, т. е. угол образован с осью асимптотой (рис. 74). На кривой возьмём точку с координатами На прямой (асимптоте рассматриваемой кривой) возьмём точку с той же абсциссой, что и у точки Её ордината равна Поэтому

(3)

Так как мы рассматриваем наклонную асимптоту, то считаем, что угол не равен Это означает, что Пусть точка – основание перпендикуляра, опущен-ного из точки на асимптоту. Получили прямоугольный треуголь-ник . Из него найдем выражение поэтому, учитывая, что будем иметь

(4)

Прямая есть асимптота линии следовательно, расстояние от точки до прямой стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат, т. е. её абсцисса стремится к бесконечности.

Итак, при значит, согласно (4) при т. е. Подставим сюда вместо выражение (3) и получим

(5)

Из (5) видно, что выражение под знаком предела – бесконечно малая функция, которую обозначим через . Тогда или где при Это соотношение поделим на перейдем к пределу при и учтем, что предел суммы есть сумма пределов. Получим

Поскольку при произведение постоянной на есть бесконечно малая величина, а её предел равен нулю. Аналогично Предел постоянной равен поэтому

(6)

Соотношение (5) запишем так: Учтём, что слева предел разности равен разности пределов и предел постоянной равен этой постоянной. Поэтому

(7)

Итак, мы показали, что если линия имеет наклонную асимптоту то обязательно существуют два конечных предела (6) и (7) для чисел и входящих в уравнение асимптоты. И наоборот, если для линии существуют два конечных предела (6), (7), то эта линия имеет наклонную асимптоту В этом можно убедиться, проведя изложенные выше рассуждения в обратном порядке.