Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Пусть функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru дифференцируема в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Тогда в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru она имеет касательную, каждая точка Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru которой удовлетворяет уравнению

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Определение 3.Говорят, что кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вверх в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru если существует Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru такое, что в окрестности Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru находится

ниже своей касательной (3) в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru т.е. если Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Если же Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru то кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru называется выпуклой вниз в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru ). Говорят, чтокривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru этого интервала.

На рисунке Р.2 функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вверх в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru а на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3.Пусть функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru дважды дифференцируема на интервале Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru . Тогда справедливы высказывания:

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru 1. если Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru то кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вверх на Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

2. если Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru то кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вниз на Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Доказательство.Пусть Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru произвольная точка интервала Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Окружим её отрезком Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Таккак функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремыТейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru имеет место представление

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

С другой стороны, в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru имеет касательную с уравнением Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru .Значит, Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Отсюда видно, что если Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru (тогда и Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru ), то Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru значит,

кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла вверхв точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Если же Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru то то Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru значит,кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru выпукла внизв точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Теорема доказана.

Определение 4.Точка Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru называется точкой перегиба кривой Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru если:а) Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru дифференцируема в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru ; б) кривая Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru при переходе Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru через точку Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru изменяет знак при переходе Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru через точку Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru ).

Необходимое условие точки перегиба.Если Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru - точка перегиба и если существут Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru то Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Доказательствовытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Замечание 4.К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru , для которых Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru не существует или равна Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru Например, в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru имеет производную Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функция Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru дифференцируема в точке Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru через точку Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru вторая производная изменяет знак, то точка Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru перегиба кривой Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - student2.ru

Наши рекомендации