Направление выпуклости кривой. Точки перегиба
График функции 
называется выпуклымна интервале 
, если он расположен ниже любой своей касательной, проведенной в любой точке этого интервала. График функции называется вогнутым, интервале , если он расположен выше любой своей касательной, проведенной в любой точке этого интервала. Точка 
графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой части, называется точкой перегиба.
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции. Если 
в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале. Если 
, то в этом интервале график функции вогнутый.
В точке перегиба графика функции вторая производная равна нулю или не существует. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода. Если 
в некоторой точке 
, бесконечна или вовсе не существует и 
меняет знак при переходе через точку , то график функции в точке имеет перегиб. Если сохраняет знак, то перегиба нет.
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции:
1. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; очки перегиба 
.
2. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точка перегиба 
.
3. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точек перегиба нет.
4. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
5. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точка перегиба 
.
6. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точка перегиба 
.
7. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
8. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
9. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
, 
.
10. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
11. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
12. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
13. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
14. 
.
Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точки перегиба 
.
15. 
. Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
; точек перегиба нет.
16. 
. Ответ: выпукла на 
;
вогнута на 
, точка перегиба 
.
17. 
. Ответ: точка перегиба 
.
18. 
. Ответ: точка перегиба 
.
19. 
. Ответ: точка перегиба 
.
20. При каких значениях параметра 
функция 
имеет точки перегиба? Ответ: 
.
21. Доказать, что график функции 
имеет точки перегиба, лежащие на одной прямой.
22. Доказать, что точки перегиба графика функции 
лежат на кривой 
.
23. Может ли точка перегиба функции быть ее точкой экстремума?
24. Может ли всюду выпуклая (вогнутая) функция иметь более одного экстремума?
Доказать неравенство:
25. 
.
26. 
.
27. 
.
28. 
.
29. 
.
30. 
.
31. 
.
Асимптоты кривой
Пусть для функции 
существует такая прямая, что расстояние от точки 
графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки 
о начала координат. Такая прямая называется асимптотой графика функции.
Если 
или 
, то прямая 
является вертикальной асимптотой графика функции .
Если существует конечный предел 
, то прямая с уравнением 
является горизонтальной производнойграфика функции.
Прямая 
является наклонной асимптотойграфика функции, если существуют конечные пределы вида 
, 
. Если хотя бы один из указанных пределов не существует или равен бесконечности, то у функции наклонных асимптот нет.
Если функция задана параметрически 
то исследуют, нет ли таких значений параметра 
, при которых функции 
или одна из них обращается в бесконечность.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где 
, 
, причем 
.
Если при 
, то график функции имеет вертикальную асимптоту 
. Если при 
, то график функции имеет горизонтальную асимптоту 
.
Если кривая задана уравнением 
в полярной системе координат, то преобразовав уравнение кривой к параметрическому виду по формулам 
ее асимптоты находят по предыдущему правилу.
Если функция задана неявно уравнением 
, то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее представить ее в полярных координатах или перейти к параметрическому виду.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: При функция терпит разрыв, причем 
, 
. Значит, прямая является вертикальной асимптотой. Находим параметры 
наклонной асимптоты 
, 
. Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид 
.
Пример 2. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: Так как 
, то прямые и 
будут вертикальными асимптотами. Так как при 
предел 
, то прямая 
является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, так как 
и 
.
Пример 3. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: Функция не определена в точке 
. Но существует предел 
. Бесконечных разрывов нет. Точка - устранимая точка разрыва. Вертикальных асимптот нет.
Определим наклонные асимптоты:
, 
, следовательно, будет горизонтальной асимптотой.
Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою асимптоту , переходя с одной ее стороны на другую в точках 
, 
и неограниченно приближается к ней.
Пример 4. Найти асимптоты графика функции 
Решение: При 
. Следовательно, является горизонтальной асимптотой. При 
, следовательно, есть вертикальная асимптота.
Пример 5. Найти асимптоты графика функции 
Решение: При 
функция стремится к бесконечности.
, 
,
,
Следовательно, наклонные асимптоты имеют вид 
, 
.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции 
.
Решение: Приведем уравнение, заданное в полярных координатах, к параметрическому виду: 
где 
- параметр. При 
. Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту 
.
Найти асимптоты графика функций:
1. 
. Ответ: вертикальные асимптоты 
.
2. 
. Ответ: 
.
3. 
. Ответ: 
.
4. 
. Ответ: 
; 
.
(часть гиперболы 
).
5. 
. Ответ: .
6. 
. Ответ: нет.
7. 
. Ответ: 
.
8. 
. Ответ: ; 
при 
; 
при 
9. 
. Ответ: 
.
10. 
. Ответ: при 
.
Найти асимптоты функции, обратной к функции :
11. 
. Ответ: 
.
12. 
. Ответ: 
.
13. 
. Ответ: 
.
14. 
. Ответ: 
.
15 
. Найти все асимптоты кривой: 
Ответ: 
, точка самопересечения 
.
16 . 
Ответ: при 
; при .
17. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при ?