Интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала; вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной (рис 5.4).

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции: если в интервале , то график является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции – вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Точка с абсциссой называется критической точкой 2-го рода, если в этой точке имеет место одно из следующих условий:

1) ; 2) ; 3) не существует и при этом сама функция в точке определена (5.7).

Условие (5.7) – необходимое условие точки перегиба.

Достаточное условие точки перегиба – перемена знака второй производной при переходе через точку с абсциссой :

с – на + выпуклость на вогнутость; с + на - вогнутость на выпуклость (5.8).

Правила нахождения точек перегиба.

1)Найти и точки, в которых выполняются условия (5.7), а кривая непрерывна, и которые лежат внутри области определения.

2)Определить знак слева и справа от каждой из этих точек, т.е. проверить условия (5.8).

Пример 5.7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции

Функция существует при любом х.

Найдем , : , . Из условий (5.7) имеем в точках , , которые являются критическими точками 2-го рода. Однако ни одна из этих точек не является точкой перегиба, т.к. на каждом из смежных интервалов , и т.д. функция и потому ,т.е. вторая производная не меняет знака при переходе через критические точки (не выполняется достаточное условие точки перегиба). Следовательно, всюду на интервале , в силу достаточного условия вогнутости, кривая вогнута.

Пример 5.8. Исследовать функцию и построить её график.

1) Функция определена на всей числовой оси, кроме

2)

Функция общего вида (ни четная, ни нечетная)

3) Функция непериодическая- выколотая точка единственная на R.

4) Точки пересечения с осями:

а) и график не пересекает ось .

б) точка пересечения с осью .

5) Асимптоты:

и уравнение вертикальной асимптоты.

.

Прямая наклонная асимптота. При параметры и имеют те же значения, поэтому других наклонных асимптот нет.

5) Экстремумы и монотонность:

при

– критическая точка ;

при не является критической, т.к. она – точка разрыва.

Исследуем по знаку :

точка минимум.

Интервал интервал убывания, т.к.

Интервал интервал возрастания, т.к.

Интервал интервал убывания, т.к.

6) Точки перегиба, выпуклость и вогнутость графика:

при , но это точка разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.

Так как во всей области определения функции, то её график всюду вогнутый.

7) Используя все полученные данные, строим график функции (рис. 5.5).