И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты

Если существует окрестность И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru точки И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru такая, что для всякой точки И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru этой окрестности выполняется неравенство И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru (или И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru ), то точка И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru называется точкой минимума (максимума) функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru . Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума).Если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка экстремума функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru или И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не существует ( И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – критическая точка этой функции).

Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru дифференцируема в некоторой окрестности И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru критической точки И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru производная И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru имеет противоположные знаки, то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка экст-ремума, причем если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru при И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru при И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка максимума. Если же И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru при И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru сохраняет знак, то точка И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не является точкой экстремума.

Теорема 3 (второе достаточное условие экстремума). Пусть И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru дважды дифференцируема и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru . Если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка максимума функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка минимума. Если же И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то требуются дополнительные исследования.

Если на интервале (a; b) всякая касательная располагается выше (ниже) дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым (вогнутым).

Если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru на интервале (a; b), то график функции является вогнутым на этом интервале; если же И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то график функции – выпуклый на (a; b).

Точка И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , при переходе через которую направление вы-пуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Теорема 4 (необходимое условие точки перегиба). Если И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – абсцисса точки перегиба графика функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru или И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не существует.

Теорема 5 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru дважды дифференцируема в некоторой окрестности И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru точки И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , в которой И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru или И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не существует. Если при этом в интервалах И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru вторая производная И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru имеет противоположные знаки, то И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точка перегиба.

Прямая l называется асимптотой графика функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru , если расстояние от точки М(x, f(x)) графика функции до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат.

Для существования вертикальной асимптоты х = а необходимо
и достаточно, чтобы хотя бы один из односторонних пределов И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru был равен бесконечности.

Для существования наклонной асимптоты И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru необходимо и достаточно существование двух пределов

И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru .

Пример 7.1. Для функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума.

Решение. Находя производную И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и приравнивая ее нулю, получаем И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru (при х = 0 И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не существует). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы монотонности. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

х И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru –1 (–1; 0) (0; 1) ( И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru )
И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru + Не сущ. +
И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru ­ ¯ Не сущ. ­ ¯

Следовательно, И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – интервалы возрастания функции; И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – интервалы убывания функции; И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – точки максимума. Точек минимума нет.

Пример 7.2. Для графика функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба.

Решение. Находим вторую производную И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru . Критическими точками второй производной являются точки И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru 0 и И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru 6 ( в этих точках И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru не существует). Они разбивают область определения функции на три интервала, на которых сохраняется направление выпуклости или вогнутости. Результаты исследования удобно представить в виде таблицы.

х И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru (0; 6) ( И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru )
И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru Не сущ. Не сущ. +
И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru

Таким образом, И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – интервалы выпуклости графи-ка функции; И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – интервал вогнутости графика функции; (6, 0) – точка перегиба.

Пример 7.3. Найти асимптоты графика функции И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru .

Решение. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой, так как

И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru .

Наклонную асимптоту ищем в виде И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru ,

И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru

где И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru

И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru

Поэтому прямая И вогнутость кривой, точки перегиба. Асимптоты - student2.ru – наклонная асимптота.

Наши рекомендации