Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба
Литература: [3], гл. V, § 9
[5], Ч.1, гл. 6, § 6.4
Кривая называется выпуклой в интервале (а‚b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале. Кривая называется вогнутой в интервале (а‚b), если ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале (рис. 1.6).
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости используется вторая производная функции.
Теорема (достаточный признак выпуклости (вогнутости) кривой): если во всех точках некоторого интервала вторая производная функции y = f (x) отрицательна (положительна), то кривая, описываемая уравнением y = f (x), в этом интервале выпуклая (вогнутая).
| a |
| y |
| b |
| x |
| выпуклая кривая |
| О |
| О |
| вогнутая кривая |
| a |
| y |
| b |
| x |
Рис. 1.6
Точка кривой М0(x0, f (x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.
Теорема (достаточный признак существования точки перегиба): если в точке x0 вторая производная функции y = f (x) равна нулю или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссой x = x0 является точкой перегиба графика функции.
Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой .
Решение. Область определения функции: . Находим первую и вторую производные функции:
, .
Обе производные существуют при любых значениях x. Приравняв вторую производную к нулю, находим: x0 = 2.
Точка x0 = 2 разбивает область определения функции на интервалы (-∞, 2) и (2, +∞).
Составим таблицу знаков второй производной и поведения функции:
| x | (-∞, 2) | (2, +∞) | |
| − | + | ||
| y | Ç выпуклая | È вогнутая |
Знак второй производной меняется в точке x0 = 2. Значит, точка кривой является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая выпуклая (так как ), справа ─ вогнутая (так как ).
Итак, интервал выпуклости (-∞, 2), вогнутости (2, +∞).
Асимптоты кривой
Литература: [3], гл. V, § 10
[5], Ч.1, гл. 6, § 6.5
Прямая называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность от начала координат (рис. 1.7).
| y |
| x |
| y = f (x) |
| асимптота |
| M |
| О |
Рис. 1.7
Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальная асимптота имеет уравнение вида x = x0 и является прямой, параллельной оси Оy. Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = k x + b. В частном случае при k = 0 асимптота называется горизонтальной, так как ее уравнение y = b есть прямая, параллельная оси Ох.
| x |
| y |
| x0 |
| О |
| y = f (x) |
| Рис. 1.8 |
Вертикальные асимптоты. Пусть дана кривая y = f (x). Для нахождения вертикальной асимптоты этой кривой находят точки ее бесконечного разрыва (точки разрыва второго рода).
Если, например,
и ,
то прямая x = x0 ─ вертикальная асимптота кривой y = f (x) (рис. 1.8).
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Пусть задана кривая y = f (x). Для нахождения наклонной асимптоты, уравнение которой y = k x + b, находят коэффициенты k и b, вычисляя пределы: , . Эти пределы вычисляются отдельно для случаев и . Если хотя бы один из пределов для вычисления k и b равен ∞ или не существует, то кривая наклонных и горизонтальных асимптот не имеет.
В частном случае, когда k = 0, а b ─ конечное число, кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y = b.
Пример. Найти асимптоты кривой .
Решение. Функция определена на всем множестве действительных чисел R, кроме точки x = 1. Определим характер разрыва, для чего вычислим пределы функции при x → 1 слева (x < 1) и справа (x > 1):
, .
Так как один из пределов бесконечен, то x = 1 является точкой разрыва второго рода, и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.
Определим, имеет ли кривая наклонную или горизонтальную асимптоту. Для этого вычисляем соответствующие пределы:
| O |
| x |
| y |
| y = 1 |
, Уравнение асимптоты y = k x + b принимает вид y = 1 (горизонтальная асимптота).
| Рис. 1.9 |