Производные высших порядков. Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ¢(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией
Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ¢(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией, то производная от ƒ¢(х) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции ƒ(х) и обозначается: уи, ƒ¢¢(х), т. е.
ƒ¢¢(х)=(ƒ¢(х))¢.
Аналогично, производной третьего порядка (третьей производной) от функции ƒ(х) называется производная от второй производной ƒ¢¢(х), т. е.
ƒ¢¢¢(х)=(ƒ¢¢(х))¢.
Производная четвертого порядка
ƒIV(х)=(ƒ¢¢¢(х))¢.
Например, для функции
ƒ(х)=2х6–sin3x
ƒ¢(x)=12x5–3cos3x,
ƒ¢¢(x)=12·5x4–3·(–sin3x)·3=60x4+9sin3x,
ƒ¢¢¢(x)=60·4x3+9·cos3x·3=240x3+27cos3x,
ƒIV(x)=240·3x2–27sin3x·3=720x2–81sin3x и т. д.
Производную порядка n обозначают:
y(n) или ƒ(n)(x).
Приложения дифференциального исчисления
Были рассмотрены некоторые приложения производной, а именно: задача о касательной к графику функции, отыскание интервалов монотонности функции. С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям и .
Правило Лопиталя.
Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно
больших функций равен пределу отношения их производных.
Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и во-вторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел.
Итак, , если
или =
Пример 1.
Найти следующие пределы
1)
2) т. к. , – бесконечно большая при х®∞
3)
т. к. cos 5π=cos(4π+π)=cos π= –1.
cos 3π=cos(2π+π)=cos π= –1.
Рассмотрим случай неоднократного применения правила Лопиталя.
4) .
Правило Лопиталя было применено дважды.
Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату.
5)
Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, но предел этот легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х
, т.к. .
Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида 0·∞, ∞–∞.
6)
7) ,
т. к.
Экстремум функции
Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.
Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него.
Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если
существует такая окрестность точки х0, что для всех х из
этой окрестности
ƒ(х) < ƒ(х0) (ƒ(х) > ƒ(х0)).
Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума).
Рис. 25.
Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1) < ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.
Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.
Теорема.Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная
функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х0)=0.
Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум.
Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х3.
Найдем ƒ¢(х)=3х2. В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)=х3 > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х3<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.
Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.
Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.
Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.
Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через
нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а
именно, если производная меняет знак с плюса на
минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка
минимума.
Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.
Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).
Теорема 2.Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х0) > 0, то
х0 – точка минимума, если ƒ¢¢(х0) < 0, то х0 – точка максимума.
С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.