Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной

Если функция Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru дифференцируема при всех Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , то мы можем рассмотреть функцию Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , сопоставляющую каждой точке Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru значение производной Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . Эта функция Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru называется производной функции Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , или первой производной от Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . (Иногда саму исходную функцию Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru называют нулевой производной и обозначают тогда Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru .) Функция Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru интервала Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , которую мы обозначим Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru и назовём второй производной функции Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . Если предположить, что вторая производная Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru существует во всех точках Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , то она может также иметь производную Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , называемую третьей производной функции Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , и т. д. Вообще, Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru -й производной функции Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru называется производная от предыдущей, Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru -й производной Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru :

Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru

Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru

Теорема Ролля

Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю

Теорема Лагранжа (обобщение теоремы Ролля)

y = f (x) – непрерывна при х Î [a; b] и

дифференцируема при х Î (a; b) Þ

$ c Î (a; b): Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru

Теорема Коши

Пусть даны две функции Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru и Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru такие, что:

1. Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru и Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru определены и непрерывны на отрезке Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru ;

2. производные Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru и Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru конечны на интервале Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru ;

3. производные Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru и Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru не обращаются в нуль одновременно на интервале Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru

4. Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru ;

тогда

Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , где Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru

(Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале (a,b).)

Доказательство

Для доказательства введём функцию

Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru  

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru равна как раз необходимому числу.

Лагра́нжа о среднем значении

утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , что

Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru .

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Исследование функции

Пусть дана функция Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru к граничным точкам области определения Производные высших порядков. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной - student2.ru , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.

Наши рекомендации