Простейшие свойства подгрупп.

Бинарные операции

Бинaрной оперaцией нa множестве A нaзывaется прaвило ∗, по которому всякой упорядоченной пaре (a, b) элементов из A постaвлен в соответствие некоторый единственный элемент c ∈ A. При этом будем писaть c = a ∗ b.

Зaдaние бинaрной оперaции нa множестве A рaвносильно зaдaнию отобрaжения множествa A×A в множество A.

1. Чтобы докaзaть, что прaвило ∗ является бинaрной оперaцией нa множестве A, достaточно в соответствии с определением убедиться в том, что для любых a, b ∈ A элемент a ∗ b однознaчно определен и принaдлежит множеству A.

2. Чтобы докaзaть, что прaвило ∗ не является бинaрной операцией нa множестве A, достaточно нaйти тaкие a, b ∈ A, для которых элементa∗b либо вообще не определен, либо определен однознaчно, но не принaдлежитмножеству A, либо определен неоднознaчно. При этом последний случaй обычно встречaется тогдa, когдa элементы a и b множествa A могут быть предстaвлены рaзличными способaми, a результaтa∗b существенно зaвисит от видa тaкого предстaвления.

ЗАМЕЧАНИЕ. Во многих приводимых ниже примерaх бинaрных оперaций проверкa того, что укaзaнное прaвило ∗ действительно является бинaрной оперaцией, чaсто будет опускaться, чтобы не отвлекaть внимaние читaтеля. При этом мы предполaгaем, что он при желaнии может выполнить тaкую проверку сaмостоятельно.

Множество A, нa котором зaдaнa бинaрнaяоперaция ∗, нaзывaется группоидом.

Тaким обрaзом, группоид есть, по существу, упорядоченнaя пaрa, первaя компонентa которой — множество A , a вторaя компонентa — бинaрнaя оперaция ∗, зaдaннaя нa множестве A.

Бинaрнaя оперaция может быть зaдaнa рaзличными способaми.

В ряде случaев онa может быть введенa с помощью специaльных определений. Тaк, нaпример, зaдaются оперaции сложения и умножения комплексных чисел, оперaция умножения квадратных мaтриц, оперaции объединения и пересечения множеств, векторное умножение векторов.

Бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A нaз-ся aссоциaтивной, если онa удовлетворяет условию ∀ a, b, c ∈ A (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

Бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A нaз-ся коммутaтивной, если онa удовлетворяет условию ∀ a, b ∈ A a ∗ b = b ∗ a.

Из опр-я следует, что бинaрнaя оперaция ∗ нa множестве A не коммутaтивнa тогдa и только тогдa, когдa она удовлетворяет условию ∃ a, b ∈ A a ∗ b 6= b ∗ a.

3. Группа (определение, виды, свойства, признаки).

Группой называется группоид (G, ∗), удовлетворяющий следующим условиям:

1. Операция ∗ в G ассоциативна, т.е.

∀ a, b, c ∈ G (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

2. В группоиде G имеется нейтральный элемент e, т.е. элемент e, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ G a ∗ e = e ∗ a = a.

3. Для всякого a ∈ G в группоиде G имеется элемент a′, симмет-

ричный элементу a, т.е. элемент a′, удовлетворяющий условию

a ∗ a′ = a′ ∗ a = e.

группами являются следующие:

1. Числовые группоиды с операцией сложения

(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +).

2. Числовые группоиды с операцией умножения

(Q \ {0}, · ), (R \ {0}, · ), (C \ {0}, · ), (Q+, · ), (R+, · ).

3. Группоиды матриц с операцией сложения

(Zm×n, +), (Qm×n, +), (Rm×n, +), (Cm×n, +).

4. Группоиды невырожденных матриц с операцией умножения

(GL(n,Q), · ), (GL(n,R), · ), (GL(n,C), · ).

Группа (G, ∗) называется коммутативной (абелевой), если операция ∗ в G коммутативна.′

Группоид (G, ·) называется группой, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. Операция · в G ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c).

2. В группоиде G имеется единичный элемент e, т.е. элемент e,

удовлетворяющий условию

∀ a ∈ G a · e = e · a = a.

3. Для всякого a ∈ G в группоиде G имеется элемент a−1, обрат-

ный к элементу a, т.е. элемент a−1, удовлетворяющий условию

a · a−1 = a−1 · a = e.

СВОЙСТВО 1 . Во всякой группе (G, · ) имеется единствен-

ный единичный элемент. Для любого элемента a группы G имеется единственный обратный к нему элемент a−1 ∈ G.

СВОЙСТВО 2. Во всякой группе (G, · ) выполнен закон сокращения, т.е. для любых a, b, c ∈ G справедливы следующие утверждения:

ab = ac ⇒ b = c,

ba = ca ⇒ b = c.

СВОЙСТВО 3 . Во всякой группе (G, · ) для любых элементов

a, b ∈ G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет в G единственное решение, а именно x = a−1b, y = ba−1.

СВОЙСТВО 11.4. Группоид (G, · ) является группой тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующим условиям:

1) операция · в G ассоциативна;

2) для любых a, b ∈ G каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет

решение в G.

СВОЙСТВО 5. Для любых элементов a и b группы G

(ab)−1 = b−1a−1,

т.е. элемент, обратный к произведению двух элементов группы, равен произведению обратных элементов, взятых в обратном порядке.

СВОЙСТВО 6. Для любых элементов a1, a2, . . . , an группы G

(a1a2 . . . an)−1 = a−1n a−1n−1 . . . a−11

ТЕОРЕМА 1. Пусть (G, ·) — группа, a ∈ G. Тогда для любых

целых чисел k, l имеют место равенства

akal = ak+l, (1)

(ak)l = akl.

Элемент a группы G называется элементом конечного порядка, если an = e для некоторого n ∈ N. При этом наименьшее n ∈ N для которого выполняется условие an = e, называется порядком элемента a. Порядок элемента a обозначается через ord(a) или | a Элемент a группы G называется элементом бесконечного порядка, если an не равно e для всякого n ∈ N.

Пусть (G, ·) — абелева группа. Частным элементов a и b группы G называется такой элемент c ∈ G, что a = bc.

4. Подгруппа (определение, виды, свойства, признаки)

Подгруппой группы (G, ∗) называется подмножество H множества G, которое замкнуто относительно операции ∗, определенной в G, и само является группой относительно этой операции.

Приведем некоторые примеры.

Во всякой группе (G, ∗) само множество G, а также одноэлементное подмножество {e} являются подгруппами группы G. Такие подгруппы

группы G называются тривиальными.Множество Z является подгруппой группы (R, +).

Простейшие свойства подгрупп.

СВОЙСТВО 1. Единичный элемент подгруппы H группы (G, ·)

совпадает с единичным элементом e группы G.

СВОЙСТВО 2. Для всякого элемента a подгруппы H группы

(G, ·) обратный к нему элемент в H совпадает с a−1 (т.е. с обратным к нему элементом в группе G).

СВОЙСТВО 3. Подгруппа коммутативной группы сама является коммутативной группой.

СВОЙСТВО 4. Пусть H —подгруппа коммутативной группы

(G, ·). Тогда для любых элементов a и b из H их частное в подгруппе H совпадает с частным этих элементов в группе G, т.е. с элементом a/b

ТЕОРЕМА 1 (первый признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией · является

подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H ab ∈ H (т.е. H замкнуто относительно операции ·) , (1)

∀ a ∈ H a−1 ∈ H. (2)

ТЕОРЕМА 2 (второй признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией · является

подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

∀ a, b ∈ H ab−1 ∈ H.

ТЕОРЕМА 11′ (первый признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией + является

подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:

∀ a, b ∈ H a + b ∈ H (т.е. H замкнуто относительно операции +), (1)

∀ a ∈ H − a ∈ H.

ТЕОРЕМА 2′ (второй признак подгруппы).

Непустое подмножество H группы G с операцией + является

подгруппой группы G тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию

∀ a, b ∈ H a + (−b) ∈ H.

ТЕОРЕМА 3 . Множество < a > является подгруппой группы G.

Пусть (G, ·) — группа, a ∈ G. Подгруппа < a >= {ak | k ∈ Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a.

Пусть (G, +) — группа, a ∈ G. Подгруппа < a >= {ka | k ∈ Z} группы G называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом a.

Кольца

Кольцом называется алгебра (K,+, ·) с двумя бинарными операциями + и ·, которая удовлетворяет следующим условиям

1. (K, +)—абелева группа, т.е.

а) операция + в K ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ K (a + b) + c = a + (b + c);

б) в множестве K имеется нулевой элемент 0 относительно операции +, т.е. элемент 0, удовлетворяющий условию ∀ a ∈ K a + 0 = 0 + a = a;

в) для всякого a ∈ K в множестве K имеется противоположный ему элемент −a, т.е. элемент −a, удовлетворяющий условию a + (−a) = (−a) + a = 0;

г) операция + в K коммутативна, т.е. ∀ a, b ∈ K a + b = b + a.

2. Операция · в K ассоциативна, т.е. ∀ a, b, c ∈ K (ab)c = a(bc).

3. Операция · в K дистрибутивна относительно операции +, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a + b)c = ac + bc ∧ c(a + b) = ca + cb).

ЗАМЕЧАНИЕ. В математической литературе часто дается определение кольца, несколько отличающееся от приведенного выше. Именно, в нем отсутствует пункт 2 об ассоциативности операции ·. При этом, если алгебра (K,+, ·) удовлетворяет и условию пункта 2, то ее называют ассоциативным кольцом.

Приведем некоторые примеры колец.

1. Числовые кольца (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).

2. Кольца матриц (Zn×n,+, ·), (Qn×n,+, ·), (Rn×n,+, ·), (Cn×n,+, ·).

3. Кольца многочленов (Z[x],+, ·), (Q[x],+, ·), (R[x],+, ·), (C[x],+, ·).

4. Кольца функций (FX,+, ·), (C[a,b],+, ·), (D[a,b],+, ·).