Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить на координатной плоскости точкой М(х;у), при этом действительные числа изображаются точками на оси абсцисс, которую называют действительной осью, а мнимые числа – точками оси ординат, которую называют мнимой осью. А также, произвольную точку М плоскости, не совпадающую с точкой О, можно задать двумя числами: r – длина отрезка ОМ и φ – углом, который образует отрезок ОМ с осью ОР в положительном направлении. Числа r и φ называются полярными координатами точки М. Совокупность точки О и оси ОР образуют полярную систему координат. О называется полюсом, а ОР – полярной осью.

Полярные координаты точек плоскости изменяются в следующих пределах:

0

У

у М(х;у)

r

φ

О х Р

Пусть на плоскости выбраны одновременно полярные и прямоугольные системы координат, то х = r y = r (4) , где r = = (5) - называется модулем или абсолютной величиной комплексного числа и обозначается , а φ – аргументом комплексного числа и обозначается arg z (0 arg z <2π).

tgφ = (6)

Определение 4:Комплексное число z = χ + iy = r( называется тригонометрической формой комплексного числа.

Для числа z = 0 аргумент не определён.

Любое комплексное число z ≠ 0 имеет бесконечно много аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π.

Определение 5:Наименьшее по абсолютной величинезначение аргумента из промежутка – π < φ ≤ π называется главным значением аргумента.

Пример 8:Найдите модуль и главное значение аргумента комплексного числа z = - 5i.

Решение: z = - 5i = 0 – 5i, т.е. х = 0, у = - 5, то М(0;- 5), следовательно М находится на отрицательной полуоси Оу, значит φ = - . Используя формулу (5) найдем значение модуля = = 5.

Пример 9:Найдите все значения аргумента комплексного числа z = 1 – i.

Решение: х = 1, у = - 1. Используя формулу (6), находим tgφ = - 1, значит φ = - + 2πк, к Z.

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

1) Правило умножения:При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули умножаются, а аргументы складываются, т. е. z₁ = r₁( z₁ = r₂(

z₁z₂ = r₁r₂( ). (7)

Пример 9:Дано z₁ = 2( ); z₂ = 3( ).

Найдите z₁z_2.Решение: Используя формулу (7), получим

z₁z₂ = 2* 3( = 6( ) = - 1

2) Правило деления:При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются, т. е. . z₁ = r₁( z₁ = r₂(

(8)

Пример 10:Дано z₁ = 3( ); z₂ = 2( ). Вычислить .

Решение:Используя формулу (8), получим = =1,5( + i ) = 1.5( )) = - i) = - i

3) Правило:При возведении комплексного числа в степень n модуль этого числа возводится в степень n, а аргумент умножается на n, т. е.

(9)

r = 1, то = – формула Муавра (10)

Пример 11:Возведите в 6 –ю степень комплексное число .

Решение: Используя формулу (10), получим

=