Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая формула комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексным числом – называется упорядоченная парадействительных чисел Z=(x, y), x,y Î R (x=Rez – действительная часть, y=Imz – мнимая часть), которые удовлетворяют аксиомам:

а) отождествление (x, 0) =x Î R

б) равенство к. ч.: для любых z₁=(x₁,y₁), z₂=(x₂,y₂) z₁=z₂ Û x₁=x₂ и y₂ = y₁

в) над комплексными числами определены операции: сложение и умножение.

1.Сложение: Z₁+Z₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂)

а) Z₁+Z₂ = Z₂+Z₁

Доказательство: Z₁+Z₂=(x₁+x₂, y₁+y₂) = (x₂+x₁, y₂+y₁) = Z₂+ Z₁

( по свойству перестановочности сложения действительных чисел)

б) z₁+z₂+z₃=z₁+(z₂+z₃)

в) существует ед. комплексное число O, O Î C, такое, что Z+O=Z. O= (0, 0).

2. Умножение: Z₁*Z₂=(x₁*x₂-y₁*y₂, y₁*x₂+x₁*y₂)

a) Z₁*Z₂=Z₂*Z₁

б) (Z₁*Z₂)*Z₃=Z₁*(Z₂*Z₃)

в) существует ед. комплексное числоe, e Î C, такое, что Z*e=Z; e=(1,0)

г) если z1<>(0,) то существует обратное число z₂, такое что Z₁*Z₂=1.

Z₂=Z₁^-1= [x/(x²+y²), -y/(x²+y²)]

е) z₁*(z₂+z₃)=z₁*z₂+z₁*z₃

ж) С*Z=(C*x, C*y)

3. Вычитание: Разностью комплексных чисел Z₁ = (x₁,y₁) и Z₂ = (x₂,y₂) называется комплексное число Z=Z₁-Z₂, такое, что Z+Z₂=Z₁. Утверждение: Z₁-Z₂= (x₁-x₂, y₁-y₂)

Доказательство: z = z₁-z₂=(x, y)

Z+z₂=(x, y) +(x₂, y₂) = z₁ =(x₁, y₁)

{ x+x₂=x₁ Þ { x=x₁-x₂

{ y+y₂=y₁ { y=y₁-y₂

4. Деление: Пусть z₂ ¹ 0. Частное от деления z₁/z₂ называется число Z, такое, что Z*z₂=z₁

Формула Муавра.

!!! Zⁿ= rⁿ( (cos (j * n) +i*sin(j*n))

Тригонометрическая форма к.ч.:

z1=x+i*y= (x²+y²)^1/2*(x / (x²+y²)^1/2+ i*y/ (x²+y²)^1/2) = r*( COS(j) + i*SIN(j))

Экспонентальная форма: Z= r*e⁽ⁱ^*^j⁾, e⁽ⁱ^*^j⁾=COS(j)+i*SIN(j)

Извлечение корня из к.ч.:

Корень n степени из Z = |Z|^1/ⁿ*{COS (j+2p*k)/n + i*SIN (j+2p*k)/n}, где k=0,1,.., n-1.

2. Понятие точной верней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании.

Число М (соответственно m) называется точной верхней (нижней) гранью множества чисел A, если выполняются следующие свойства:

1) x <= M (соответственно x >= m) для всех x Î A;

2) Как бы ни было мало e > 0, найдется такое число Xo, что M- e<Xo (Xo<M- e)

M=SupA=Supx, xÎA ; m= InfA=Infx, xÎA;

Теорема: Если множество X¹0 ограничено сверху (снизу), то $! точная верхняя грань (нижняя грань этого множества). Без доказательства.

Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.

Опр. 1. Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого положительного числа e найдется (зависящее от него) натуральное число N такое, что для всех натуральных n>N выполняется равенство:

| Xn -a | < e (n > N)

Теорема 1. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то ее предел единственный.

Доказательство: пусть это не так…

Xn –>a : {Xn – a} - Б.М.П. Xn – a = an

Xn –>b : {Xn – b} - Б.М.П. Xn – b = bn

(a¹b)

Þ b-a = an -bn - б.м.п.

b–a = const – б.м.п.

Þ ( по Т.7 параграфа 1) b-a=0 Þ b=a #

Теорема 2. Если {Xn} – сходящаяся последовательность, то она ограничена.

Доказательство:

а – предел {Xn}

Фиксируем некоторое положительное число e и по нему номер N такой, что |Xn – a| < e при всех n>=N или, что то же самое, a-e< Xn<a+e. Обозначим через А наибольшее из следующих (N-1) чисел: |a-e|, |a+e|, |X1|, |X2|,…, |XN-1|. Тогда очевидно, |Xn| <= A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {Xn}

Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.

Теорема 3: Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn + Yn –> a + b.

Доказательство:

Xn –> a : Xn - a = an – б.м.п.

Yn –> b : Yn - b = bn – б.м.п.

Þ Xn + Yn = a +b + an + bn

Xn + Yn – (a +b) = an + bn

Þ Xn + Yn –> (a + b);

Теорема 6: Если Xn –> a, то |Xn| –> |a|

Доказательство:

1) a = 0: Xn –> 0; Þ ? |Xn| –> 0

Xn –> 0: "e >0 $N(e)ÎN : "n>N(e) Þ

|Xn| < e; ( ||Xn|| < e ) Þ

"e >0 $N(e)ÎN : "n>N(e) Þ ||Xn|| < e; т.е |Xn| –> 0

2) a¹0:Xn –> a; ? Þ |Xn| - |a| - б.м.п.

Xn = a + an, где an – б.м.п.; |Xn| - |a| = |a + an| - |a|=

= ((a+an)² – a²) / |a + an| +|a| = (|a + an| -|a|)^-1* [2aan +an²];

(|a + an| -|a|)^-1– ограниченная последовательность <= 1/|a|,

[2aan +an²] б.м.п. Þ |Xn| - |a| - б.м.п. #

Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.

Теорема 4. Если Xn –> a и Yn –> b, то Xn * Yn –> a * b

Доказательство:

Xn –> a : Xn - a = an – б.м.п.

Yn –> b : Yn - b = bn – б.м.п.

Xn * Yn = ( a + an )( b + bn ) = ab+ anb + bna + anbn

Xn * Yn - ab = (anb + bna + anbn) – это б.м.п. Þ Xn * Yn –> a * b

Теорема о пределе промежуточной последовательности.

Теорема. Пусть {Xn} и {Yn} – две сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, все элементы последовательности {Zn}, по крайней мере, начиная с некоторого номера, удовлетворяют условию:

Xn <= Zn <= Yn.

Тогда последовательность {Zn} сходиться к тому же самому пределу a.

Доказательство:

Xn <= Zn <= Yn. Þ

Xn – a <= Zn – a <= Yn – a Þ

| Zn – a| <= max {| Xn – a |,| Yn – a |};

Xn –> a: "e > 0 $N₁(e)ÎN : "n> N₁(e) Þ |Xn – a| < e

Yn –> a: "e > 0 $N₂(e)ÎN : "n> N₂(e) Þ |Yn – a| < e

"e > 0 $N(e) = max{N₁(e), N₂(e)}: "n>N(e) Þ

|Zn – a| <= max {| Xn – a |,| Yn – a |} < e Þ Zn–> a. #

Непрерывность функции в точке. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.

а) отождествление (x, 0) =x Î R