Тригонометрическая форма комплексного числа

Модулем комплексного числа называют выражениеТригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Аргумент комплексного числа это Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru . Аргумент Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru изменяется в диапазоне Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru и рассчитывается по формуле

x y четверть аргумент
+ + Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru
+ - Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru
- + Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru
- - Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru
+   Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru
-   Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Пример. Найти модуль и аргумент числа z=1-i.

X=1, y=-1, Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru то Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru , Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru т.к. число z=1-i лежит в четвертой четверти.

Запись комплексного числа в виде z= Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru называют тригонометрической формой комплексного числа, где Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Пример. Записать тригонометрическую форму числа z=1-i.

Z= Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма используется для возведения комплексных чисел в степень и извлечения корня.

Возведение комплексного числа в степень осуществляется с помощью формулы Муавра

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Примеры. а) Вычислить Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Учитывая, что Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru запишем показатель степени в виде суммы двух слагаемых одно из которых кратно четырем:

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

в) Вычислить (-1+ Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru .

Решение. Представим число Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Применяя формулу Муавра, получим

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Извлечение корня из комплексного числа осуществляется с помощью формулы

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Где к=0,1,2,…..,n-1, Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных значений.

Пример. Найти все значения Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Приводим число ( Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru ) к тригонометрическому виду

1-i= Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru Следовательно, Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Полагая k=0,1,2,3,найдем

(k=0) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

(k=1) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

(k=2) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

(k=3) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Показательная форма комплексного числа

По формуле Эйлера Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru , то z= Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru Это показательная форма комплексного числа.

Пример. Записать число Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru в показательной форме.

Найдем модуль и аргумент числа: Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru Показательная форма Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Упражнения.1.Найти модуль и аргумент комплексного числа Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

2. Вычислить Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru где Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

3.Записать тригонометрическую и показательную форму числа Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Домашняя работа:выполнить вариант домашней контрольной работы по разделу комплексные числа.

Раздел 1. Комплексные числа.

ЗАДАЧА 1.Даны комплексные числа z1, z2 и z3. Необходимо

А) найти число Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Б) изобразить на комплексной плоскости данные комплексные числа, найти их модули и аргументы;

В) записать комплексные числа z1, z2 и z3 в тригонометрической и показательной формах.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Задача 2. Найти все корни уравнений.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) а) z4+1=0, b) 2z2+3z+5=0 11) a) z4-1=0, b) z2+z+5=0 21) a) z5-1-i=0, b) z2+z+9=0

2) a) z3-1=0, b) z2+2z+5=0 12) a) z3+1=0, b) 2z2-z+3=0 22) a) z6+1+i=0, b) z2+2z+6=0

3) a) z2+1+i=0, b) z2+3z+4=0 13) a) z5-1=0, b) z2+z+1=0 23) a) z3-1+ Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru , b) z2-z+5=0

4) a) z5+1=0, b) 2z2-2z+5=0 14) a) z6+1=0, b) z2+z+2=0 24)a) z4+1+ Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru b) z2+3z+6=0

5) a) z6-1=0, b) 2z2+z+5=0 15) a) z7-1=0, b) 2 z2+z+1=0 25) a) z5-1- Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru ; b) z2+z+4=0

6) a) z7+1=0; b) 2z2+3z+2=0 16) a) z8+1=0; b) z2+2z+3=0 26) a) z6+1- Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru , b) z2+2z+4=0

7) a) z8-1=0; b) z2+3z+5 =0 17) a) z3+8=0; b) 3z2+2z+1=0 27) a) z3- Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru , b) 3z2+z+1=0

8) a) z2-1+i=0; b) 2z2-z+5=0 18) a) z4-16=0; b) 2z2+z+6=0 28) a) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru ; b) z2+z+7=0

9) a) z3-8=0; b) 3z2+3z+5=0 19) a) z3-1+i=0; b) z2+z+7=0 29) a) z3+ Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru b) 6z2+2z+3=0

10) a) z4+16=0; b) z2+3z+6 =0 20) a) z4+1-i=0; b) 3z2+z+3=0 30) a) z3+ Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru -i=0; b) 7z2+2z+4=0

Задача 3.Найти и построить на комплексной плоскости области, которым принадлежат точки

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru удовлетворяющие указанным условиям.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

27) Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Тригонометрическая форма комплексного числа - student2.ru

Наши рекомендации